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零温单粒子格林函数,
费曼图技术及其应用
零温单粒子格林函数
薛定谔绘景中引入场算符 和
,
表示在空间某点
湮灭或产生一个自旋为 的粒子,
可以在一组正交完备集
(注意这里
是表征完备基的量子数)下展开: 这里只考虑正常态, 不包括超导态、玻色-爱因斯坦凝聚态等复杂状态.
完备基的选择视具体情况而定,
通常可以选择平面波表象、布洛赫表象和瓦尼尔表象, 和
则是相应表象下的产生和湮灭算符.
选择布洛赫表象时, 体系有多条能带,
对于费米子通常选择最靠近费米面的能带. 需要强调的是
是全同粒子体系中单体算符的正交完备基，这样的全同粒子体系可能是由实物粒子如电子等组成,
也可能是由非实物粒子如声子等元激发组成.
具体表象下产生湮灭算符间有如下对易关系: 其中
表示玻色子算符间的对易关系,
表示费米子的反对易关系.
这里和之后将这两种关系写在一起，代表玻色子的符号在上，代表费米子的符号在下.
利用这些关系和基底间的正交完备性可以得到场算符间的对易关系: 利用海森伯绘景和薛定谔绘景中算符的变换关系,
可以得到海森伯绘景下场算符 与薛定谔绘景下场算符
的关系: 这里的哈密顿量不显含时间.
零温单粒子格林函数的定义
零温单粒子格林函数 有文献也称这种形式的格林函数为因果格林函数,
它是最常用的格林函数, 可以用图形技术来处理. 由于格林函数 中含有两个时间,
一般地我们也称其为双时格林函数. 对于热力学因果格林函数来说,
它的物理意义是在
个粒子的统计系综中, 在 时刻
位置处产生一个粒子, 它运动到
时刻在
处湮灭的传播概率. 这第 个粒子与
个粒子是有 相互作用的.
如果有外场, 或者相互作用与自旋有关,
粒子在运动过程中由于受到散射或外场作用, 自旋可能会改变.
由于相互作用的存在, 该运动粒子与 裸粒子(即无相互作用时)的能谱会不同.
我们将这样的粒子称为准粒子, 它的能谱由格林函数的极点确定. 当时间 时,
格林函数表明先湮灭一个粒子然后再产生它, 这完全遵守因果关系.
零温的因果格林函数则表示在
个粒子的基态中产生再湮灭一个粒子的传播概率幅.
格林函数的极点是粒子的能量, 亦即哈密顿量的本征值.
一般来说本征值是实数. 但由于现在产生的是准粒子,
准粒子在运动过程中由于与其他粒子的相互作用, 可能会衰变.
所以准粒子是有寿命的, 这一点在格林函数上表示为极点是个复数.
实部表示准粒子的能量, 虚部的倒数是准粒子的寿命. 当粒子不衰变时,
虚部是无穷小量, 寿命无限长.
这里的 与我们之前定义的 同为基态,
这样表示是为了强调式中所有物理量都在海森伯绘景中.
的本征值方程是
引入编时算符 , 定义为
且有
对称性质
零温单粒子格林函数在有对称性的体系下, 形式可以简化,
具体体现在其所依赖的参量减少:
不显含时间,
具有时间对称性
空间均匀 , 具有平移对称性
相互作用与自旋无关 其中
具备以上三个对称性
物理意义
假设 ,
将场算符化为在薛定谔绘景下的表示: 这样, 零温单粒子格林函数的物理意义便是: 时刻基态中
位置产生一个自旋为 的粒子,
然后经过 的演化在
时刻这一粒子在 处且自旋为 消灭的几率幅.
物理量的表示
单体算符的基态平均
单体算符可以利用场算符写为(二次量子化): 其在(零温)基态下的均值为: 注意这里 只作用在后面与
有关的项，所以上面的等式是成立的. 进一步, 写成海森伯绘景中的形式: 为了与单粒子零温格林函数联系, 可以引入时间的极限: 总动能算符的基态平均. 总动能算符是单体算符,
可以写为: 这里暗含: 总动能算符的基态平均为:
基态能(两种方法求解)
(i) 方法之一 全同费米子体系的哈密顿量是 其中动能项和势能项分别为 于是系统的基态能可以表示为 其中动能项的基态平均是 但是势能项的基态平均
需要详细计算. 下面利用运动方程求解. 场算符的海森伯运动方程是 其中右式需要先换到薛定谔绘景下求解对易子,
再通过时间演化算符换回含时的形式, 即 其中右边的对易式可以写成: > 练习: 证明上式成立.
代回运动方程, 得到 对等式两边左乘
然后取基态平均, 得到 两边取极限 , 然后对
求和, 对 积分, 得到 等式左方可以写成: 右方直接取极限后, 可以写成: 考虑绘景变换, 即 带入等式右方, 就能得到与最初的哈密顿量中相互作用项相似的形式,
即 代回运动方程, 就得到了相互作用项基态平均用格林函数表示的形式
于是基态能的表达式可以写成 (ii) 方法之二(利用 Hellmann-Feynmann 定理)
首先构造含有参量 的哈密顿量
当 取 和 时, 具有实际的物理意义, 即 基态的本征方程是 其中的基态和基态能都依赖于 , 有 基态能的表达式为 对参量 求导数,
得到 即 等式两边对 从
到 积分得到 这样, 基态能就可以用格林函数表示为 这样就得到了基态能的第二种表达式. 自由粒子系统的基态能
的计算.
哈密顿量用场算符表示为 场算符选取平面波表象, 即 哈密顿量变成 由于基态的粒子数是固定的,
因此这里不需要引入巨正则系综的化学势. 系统的基态用平面波表象的算符表示为
其中
表示粒子的真空态, 具有性质 格林函数可以表示成 其中场算符用平面波表象表示为 其中
需要利用算符对易关系的 Baker-Campell-Hausdorff 公式, 即 或通过建立运动方程的方式进行求解.
下面用运动方程法求解. 建立运动方程, 有 即运动方程可以写成 利用初始条件 ,
对时间积分得到 将这一结果代回场算符的表达式中, 得到 代回到格林函数的表达式中, 就得到了 代回到基态能的表达式中, 有 由于前面对
取极限的方式是 , 因此上式第二步只有包括 的一项非零,
另一项等于零直接略去.
以下考虑空间均匀的情况, 即 引入对格林函数的傅立叶变换, 有 代入基态能的表达式中, 有 这样就得到了在频率表象下, 带有参量 的基态能的另一种表达式, 即
下面仍以自由粒子为例, 证明经傅立叶变换后, 上式给出相同的系统基态能.
前面已经推导过, 自由粒子的格林函数可以写成 经傅立叶变换后, 格林函数可以写成 其中符号函数 的定义式为 > 证明格林函数傅立叶变换后能够写成上式的形式.
将格林函数带入自由粒子基态能的表达式中, 得到 这里可以对
进行解析延拓, 代换成复变量 ,
由约当引理, 这里要取上半圆围道积分. 根据留数定理, 上式变成 其中有费米波矢 .