量子多体理论-第一讲

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✨一个可能很有用的多体理论笔记。（施工中）

Foreword

  • 主要参考文献：
    • A. A. Abrikosov 等：Quantum Field Theory in Statistical Physics, 1963.
    • A. L. Fetter and J. D. Walecka ：Theory of Many-Particle System, 1991.
    • G. D. Mahan ：Many-Particle Physics, 1990.
    • 王怀玉 ：凝聚态物理的格林函数理论，2008.
  • 课程大纲：
  • 第一章：三个绘景，诸量子力学的场算符表达式及其表象；
  • 第二章：双时推迟格林函数及其应用；
  • 第三章：零温格林函数，费曼图及其应用；
  • 第四章：Matsubara 格林函数，费曼图及其应用；
  • 第五章：线性响应理论，量子输运理论；
  • 第六章：凝聚态场论（路径积分方法）；
  • 第七章：非平衡系统中的格林函数，费曼图及其应用；

第一章：三个绘景，诸量子力学场算符表达式及其表象

在高量课程中，我们在进行绘景变换时，考虑的只是单电子问题。但在多体理论中，我们将要考虑的是 数量级的粒子相互作用的多体系统，它与单电子问题不同，但基本方法思路是一致的。我们同样可以考虑多体波函数和多体算符等概念。首先，来回顾一下三个绘景的相关知识。

薛定谔绘景

(a) 态矢量

在薛定谔绘景中，态矢量 的演化由多体薛定谔方程来确定： 其中 是多体系统的哈密顿量。不同于牛顿方程需要两个初始条件，薛定谔方程是一个一阶微分方程，这也就是说，只需要知道一个初值，我们就能够唯一地确定方程的解。

我们的主要任务是在 给定的情况下，求解 的表达式（ ）。

为简化问题，首先需要引入时间演化算符。

(b) 时间演化算符

时间演化算符 的定义式是： 将这个定义式应用到薛定谔方程中，就可以得到时间演化算符满足的动力学方程： 可以看出这个方程与薛定谔方程形式一致，但是其中的变量是算符 ，而初始条件也不同。

令 ，得到时间演化算符的初始条件： 𝟙 时间演化算符还是一个幺正算符： 可以得到时间演化算符的两个重要性质：

  • ,
  • （传递性）.

对时间演化算符满足的动力学方程积分，可以用迭代法得到一般解的形式： 𝟙 但这样的形式解很难直接应用。

为此，引入编时算符 。它的作用相当于一个命令，将不同的算符按时间先后顺序排序。例如编时算符作用在两个哈密顿算符上，得到的编时乘积是： 其中 是阶跃函数，它的表达式是： 它满足性质 。

在这里，我们描述的是粒子数不变的系统，因此哈密顿算符中产生消灭算符两两出现，总的哈密顿算符将始终是玻色型算符，按时序对换时不会改变符号。

于是时间演化算符的形式解可以简化为： 利用这样的表达式，我们可以考虑一些简单的情况。

  1. 如果 之间相互对易：

  2. 如果 不显含时：

(c) 力学量算符

薛定谔绘景下，力学量算符不显含时 ，即：

(d) 力学量的平均值

薛定谔绘景下的力学量平均值可以表示成

海森伯绘景

(a) 态矢量

海森伯绘景下，态矢量可以表示为 在 时，两个绘景重合： 态矢量对时间微分，得到 态矢量不显含时，即 。

(b) 力学量算符

海森伯绘景下的力学量算符的定义式是 对时间 求导数，就得到了（著名的）海森伯运动方程 其中对易式满足 。

这也是一个一阶微分方程。初始条件是 考虑最简单情况，哈密顿算符不显含时间 ，此时有态矢量的形式解 以及算符的表达式 用薛定谔绘景下的算符对易式表示海森伯方程就是

(c) 力学量的平均值

力学量平均值在不同绘景下是相同的，

相互作用绘景

哈密顿算符含时，但可以分成已知的不含时部分 ，和含时的微扰小量 ，即 这时可以用相互作用绘景，对小量微扰展开进行求解。

(a) 态矢量

相互作用绘景下，态矢量表示成 态矢量的演化方式由微扰量 确定， 其中，相互作用绘景下的微扰量表示为

(b) 时间演化算符

相互作用绘景下，时间演化算符 的定义式是 相应满足的微分方程是 初始条件是 𝟙 。时间演化算符具有形式解 𝟙 其中 。同样，引入编时算符后，形式解可以化简成

(c) 力学量算符

相互作用绘景下的力学量算符定义式是 取 时刻，三个绘景的力学量重合 相互作用绘景下的力学量算符 的运动方程是

(d) 力学量平均值

三个绘景中，力学量平均值重合，即

绘景变换

这一部分已经在高等量子力学中详细讨论过，在此主要给出结论。

1. 时间演化算符之间的关系

证明留作习题

通常取 ，形式可以简化成 如果取 ，，得到 如果取 ，，得到

2. 算符之间的关系

从相互作用绘景中的算符定义式 中，反解出 ，然后代入 的表达式 即

3. 态矢量之间的关系

即

力学量算符的场算符表达式

场算符（薛定谔绘景）

给定自旋 的场算符 和 满足的对易关系（玻色子情况）是

单体算符

定义单体密度算符 ，单体算符可以写成 以下都考虑自旋相关，费米子系统中有 。单体算符在自旋空间下展开 其中 是 Pauli 空间下的矩阵元 以下是一些单体算符的常见例子。

例1. 总动能算符

定义动能密度算符 总动能算符就可以写成 这里给出的表达式是一般情况，总动能算符的具体形式取决于场算符的表象选取，不同的表象对应着不同的表达式。这一点将在稍后展开讨论。

例2. 总粒子数算符

定义粒子数密度算符 于是有总粒子数算符

例3. 总电流算符

在量子力学中已经讨论过，电流密度的表达式是 这也是电流连续性方程的结果。于是有总电流算符

例4. 总自旋算符

定义自旋密度算符 于是得到总自旋算符

二体算符

二体算符的一般形式是

如果不考虑自旋-轨道耦合，二体相互作用与自旋无关（例如库仑相互作用）。此时势场在粒子对换时保持不变， 则有 这样就得到了简化后的二体算符表达式 如果系统的哈密顿量也与自旋无关，那么可以写成两项和的形式，即 其中第一项是单体项，即动能项；第二项是两体相互作用项。

场算符的不同表象

(a) 平面波表象

如果考虑在整个固体材料中运动的巡游电子，我们常采用场算符的平面波表象来描述具体问题。如果考虑局域在原子附近的电子，则需要考虑瓦尼尔表象或其他表象，这种情况将在后面讨论。

在平面波表象中，常采用箱归一化和周期性边界条件。即系统的体积 ，可以看成长度为 的立方体。最简单的情况是单粒子薛定谔方程的平面波解 其中 是动量算符 的本征态，由于动量算符是厄米算符，它的本征态具有正交性和完备性等很好的性质，即 于是场算符可以很方便地利用 展开，我们定义 其中 是动量为 ，自旋为 的粒子的消灭算符（产生算符同理），如果考虑电子（费米子）系统，那么它们之间的对易关系是 由此可以展开总动量算符 ， 以及总动能算符 还有总粒子数算符 下面来考虑一些相应的密度算符进行傅里叶变换后的表达式。

对于粒子数算符 ，有傅里叶变换以及逆变换： 电流密度算符有傅里叶变换及逆变换：（证明留作习题） 自旋密度算符 的傅里叶变换及逆变换：（证明留作习题）

（第一讲完。）