有限温单粒子格林函数,
费曼图技术及其应用
松原格林函数的应用
凝胶模型中热力学势的计算
热力学势的具体形式
在有限温情况下, 哈密顿量改写为 对应的热力学势为 利用第二小节给出的结论, 热力学势可以表示为 这里是用实空间单粒子松原格林函数表达热力学势,
而实际应用时动量空间更常用. 对格林函数进行傅里叶变换, 有 于是热力学势可以改写为 其中有 从中可以解出 代回到热力学势的表达式中, 就得到了 下面证明, 上式中有 Proof.
- 玻色子情况 于是有 (b) 费米子情况 于是有 最终得到 问题转化为求解 .
根据戴森方程, 有
[fig 18]
为得到热力学势的具体形式, 下面我们考虑不同阶近似下的计算分析.
一阶近似
一阶近似下的戴森方程为
其中一阶近似下的自能图为
[fig 20]
即需要计算的自能表达式为 令 首先, 检验这一函数满足 : 符合条件. 利用频率求和公式得到: 从而 要求解一阶近似下的戴森方程, 也就是要求如下费曼图:
[fig 21]
对应的表达式为 于是一阶近似下的热力学势可以表示成 对应的比热和温度的关系为 , 这与实验测得的 不符. 因此还需要考虑进更高阶近似.
下面进一步介绍二阶近似下的自能图.
二阶近似
二阶近似的戴森方程展开式中有两类, 分别是自能图取二阶的
和自能图取一阶的 .
其中, 第一类中的三个不等价二阶自能图分别是
[fig 22]
对应的热力学势二阶展开项分别为
[fig 23]
此外, 考虑另一种二阶自能图
[fig 24]
其对应的热力学势
[fig 25]
与
是拓扑等价图, 因此实际只需计算一项. 二阶热力学势的计算过程略. 其中 和 都不发散, 但是 项会发散.
为了处理这一问题, 需要再考虑进更高阶近似.
更高阶近似
在考虑三阶及以上近似时, 与零温情况类似,
只考虑发散最强的项并对它们求和( 在高密度情况下, 这一处理方式是合理的 ).
各阶
对应的费曼图为:
[fig 26]
最强发散项近似下, 相应的热力学势可以在形式上写成
[fig 27]
其中, 热力学势的下标
表示这里是对所有环图(ring)求和.
最强发散项近似的有效相互作用为
[fig 28]
其中
被称为 Lindhard 函数, 表示不含 的泡泡图, 表达式为 式中系数
由自旋指标求和得到.
相应地有
[fig 29]
有效相互作用可以用 Lindhard 函数写成 从而有 将
代换成 ,
就得到了待求的 : 相应的 就可以写成 代回热力学势的表达式中, 得到 可以证明, 式中 Lindhard 函数是关于宗量的偶函数, 即 Proof. Lindhard 函数可以改写为如下形式: 由上式可以看出, Lindhard 函数具有性质: 其中取 , 有 这样, 热力学势可以写成 其中对
的积分可以算出: 最后, 得到 综合上述推导, 如果三阶及以上只考虑最强发散项,
热力学势可以表示为 利用上式可以求得各热力学量. 例如内能可以表示为 其中第一项为自由粒子基态能, 前两项是 Hatree-Fock
近似下的基态能, 后两项是关联能.
电子-声子相互作用
电子-声子相互作用的哈密顿量
电子-声子相互作用的哈密顿量为 其中凝胶模型只考虑了前两项, 第三项为声子单体哈密顿量,
第四项为电子-声子相互作用的哈密顿量.
在平面波表象下取体积 ,
电子-子系统的哈密顿量可以写成 声子-子系统的哈密顿量可以写成 电子-声子相互作用的耦合系统哈密顿量为 其中定义了 电子-声子相互作用可以表示为如下两种相互作用过程:
图
电声相互作用的哈密顿量可以进一步写成 将总哈密顿量拆分成 和 两部分, 其中 定义自由声子格林函数: 其中 我们只需求出
时的表达式即可.
时的自由声子格林函数可以写成: 其中 是零温时的玻色分布函数.
对格林函数作傅立叶变换, 得到
回顾之前我们曾定义过的电子格林函数及对应的费曼图表示方法,
在这里我们同样可以用费曼图来表示声子的格林函数.
定义声子格林函数对应的费曼图:
图
与电子系统类似, 相互作用表象下的声子格林函数可以表示为 其中平均值定义为 类似地可以将表达式简化为 在考虑电声相互作用对格林函数的各阶贡献时,
需注意只有偶数阶有贡献. 另外, 由于哈密顿量中没有 项, 所以,
如下两个来自电子的一阶修正和来自声子的二阶修正的费曼图
图
都没有贡献. 真正引入了修正的费曼图有
图
等等, 其中
和
是二阶声子修正对应的耦合因子.
下面我们讨论电子-声子相互作用对系统某些物理量造成的修正.
声子频率的修正
自由声子的哈密顿量为 其中
是把电子系统当作负电背景时的晶格振动频率, 可以用离子质量 表示为 在进行修正时, 要考虑两类相互作用. 下面我们用费曼图技术,
使用不同的近似方法进行推导.
- 不考虑电子-电子相互作用时的耦合系统
声子格林函数对应的 Dyson 方程可以表示为
图
其中, 阴影部分代表顶角修正. 不考虑电子-电子相互作用时,
费米子双线可以简化为单线, 相应的 Dyson 方程简化为
图
其中, 顶角修正部分的展开式为
图
这些修正项难以处理, 但是人们发现, 顶角修正中的每条声子线都能给出一个
, 对于金属来说,
这一项相对零阶修正是一个可以忽略的小量, 因此可以不计入顶角修正.
这一简化最早是 Migdal 定理得到的.
于是 Dyson 方程就变成了比较简单的形式:
图
从中反解出 , 有 这是忽略了电子相互作用后得到的声子格林函数.
下面考虑进电子相互作用, 重新进行计算.
- 考虑电子-电子相互作用时的耦合系统
考虑
的贡献, 用完整的极化图来代替原来的顶角修正, 声子格林函数满足的 Dyson
方程就变成了如下这种形式:
图
这里的极化图同样比较复杂, 我们使用凝胶模型中的极化图来代替, 即 用正规极化图 图 展开为
图
而 RPA 的正规极化图 就是 ,
所以极化图可以进一步化简为
图
从中解出极化函数 也称因果密度关联格林函数, 与系统中的介电函数相关.
这一函数与第一章中讨论的推迟格林函数有所区别.
下面讨论系统的介电函数 .
在 RPA 近似下的有效相互作用表达式为
图
从中解出 : 其中第二步利用了线性响应理论.
从而就可以得到与之前类似的关系式: 即密度关联格林函数的极点对应着介电函数的零点.
根据 RPA 近似后的声子 Dyson 方程, 可以得到 其中, 而 就是待求的声子频率(能谱).
考虑到固体中离子运动得很慢, 介电函数可以取定态微扰极限, 即 其中 是
Thomas-Fermi 波矢, 有 其中
是金属系统的费米能. 代回到
的表达式中, 并考虑低能声子的长波极限, 舍去, 得到 从而得到声子频率 其中系数
表示声速. 这一表达式也称为 Bohn-Staver 公式. 声子频率在长波极限下与
成正比, 这与实验得到的结论一致.
此外, 声速
也与固体理论的结果一致.
和
对电子-离子相互作用的修正
下面考虑电声相互作用和电子相互作用对电子-离子相互作用的修正.
电子-声子相互作用并不只有前面提到的电子发射声子和吸收声子这两种简单的状态,
其中还有其他的间接作用, 即有
图
以上展开式可以用有效相互作用势表示为
图
其中, 我们定义了 RPA 近似下的声子耦合系数 对应的费曼图表示为
图.
用与前面类似的方法可以计算: 可以看到, 库仑相互作用势 现在具有短程 Yukawa
势傅里叶变换后的形式, 即 这里相互作用的强度变化是电声相互作用造成的.
有效电子-电子相互作用
考虑有效电子-电子相互作用和声子-声子相互作用,
两种相互作用可以分别用费曼图表示为
图
将两类相互作用统一用 图 来表示, 有
图
相应的有效相互作用势就可以表示为 利用关系式(1), 有效相互作用势可以进一步写成 作解析延拓, 取
后得到有效相互作用势的实部 函数图像大致为图1. 这一函数的特点为频率较低时,
有一部分可以表现为负值, 即引力相互作用.
引力相互作用的范围大致可以用声子截断频率 来区别,
这不是电子-电子的直接相互作用, 而是以声子为媒介的间接相互作用,
对超导相变来说很重要.
人们证明了只要费米球外两个电子之间存在引力相互作用,
它们就可以形成束缚在一起的 Cooper 对.
图
电子-声子系统有效哈密顿量
前面已经基本分析完了金属体系中, 声子对电子系统的影响.
现在我们要考虑电子-声子相互作用对电子态的影响.
在这里我们不需要从头开始重新计算,
只要选取能突出基本物理的有效哈密顿量即可,
这就是这里讨论有效哈密顿量的原因.
电子-声子系统的有效哈密顿量由三部分组成: 其中:
考虑进声子相互作用后, 每个子系统哈密顿量都不同于原始哈密顿量.
其中 和
是有效电子的产生湮灭算符, 声子频率
是前面我们修正过的, 电声耦合
也是前面修正过后的结果.
不考虑电子-电子相互作用, 电子自能和声子自能可以分别用费曼图表示为
图
上述两个修正过的自能图可以用于讨论电子-声子相互作用对金属电阻随温度变化的影响.
另外, 可以由 Migdal 定理证明关系式:
图
Migdal 这一证明的前提假设也是 ,
因此整体来说, 我们在上面给出的推导是自洽的.
Gor'kov 的超导格林函数理论
正确的超导理论最早是 1956 年提出的 BCS 理论, 这一套理论虽然成功,
但是它的短板是只能考虑大块的均匀超导体. 当系统具有外磁场等影响时,
这套理论将束手无策. 因此我们非常需要一套能够处理非均匀情况的超导理论.
Gor'kov 于 1958
年提出的格林函数的超导理论正是用来描述非均匀超导的一套成功的理论,
其中运用的就是有限温的格林函数.
在 1950 年左右, 人们提出了一套超导的唯象理论, 即 G-L 理论,
但这一理论的微观基础人们并不明确. Gor'kov
理论从微观的格林函数满足的方程出发, 导出了 G-L 理论满足的方程.
这一做法非常令人惊叹, 这一套理论需要大量推导. 可见 Gor'kov
的物理直觉十分敏锐, 数学功底非常扎实.
希望理论工作的同学们要向老一辈物理学家看齐, 学习他们认真踏实, 坚韧不拔,
严密的工作精神.
下面我们简单地介绍一下这一理论.
约化哈密顿量及其平均场近似
约化哈密顿量由两部分构成: 其中 是单体算符,
表示为 其中 是磁矢势.
在这里还考虑了 London 规范, 即有 在巨正则系综下有 二体相互作用项表示为 这里的相互作用势对超导体来说 是吸引势. 为简单起见,
我们考虑以下几种简化情况.
- 自旋单态超导体
自旋单态超导体的自旋指标 ,
即二体相互作用项可以简化为 (b) 只考虑 -波情况
此时只有点接触型相互作用 ,
其中 .
此时二体相互作用项写为
这样的场算符四次项难以处理, 下面我们取平均场近似进行计算.
平均场近似的基本假设是 将场算符二次项表示为
将括号中的两项视为一阶涨落 , 并忽略二阶及以上的小量,
二体相互作用项可以表示为 定义对势(pair potential)
: 通常也称
为能隙函数, 此处要注意它不是一个算符.
这样就可以把平均场哈密顿量表示为 ### Gor'kov 的超导格林函数 为求解平均场近似下的哈密顿量,
定义如下单粒子松原格林函数: 其中场算符是有限温下的海森堡算符: 另外, 此处 定义为 超导的核心思想之一在于费米面附近的态密度足够大,
总可以把任意的色散关系在费米面附近线性展开,
这样就和光子的色散关系一致了, 也就是有化学势 , 粒子数任意变化而不会改变能量.
所以有巨正则系综下的 .
下面我们分别用运动方程法和有限温下的费曼图技术求解这一单粒子松原格林函数,
导出 Gor'kov 方程. ### 海森伯绘景中的解法(运动方程法)
首先考虑场算符的时间导数 代入超导哈密顿量
的具体表达式并计算对易关系, 有: 第一项对易式: 第二项对易式 所以有 类似的有 格林函数对"时间"的导数就可以写成: 其中定义了反常格林函数 其中改变了自旋指标, 这并不影响计算结果.
这一项在正常态费米子体系中等于零, 但在超导体系中可以不等于零. 另外,
反常格林函数与超导能隙函数直接相关, 即有 下面求解关于
的运动方程, 对 求导有 与前面对
的时间导数联立, 得到 Gor'kov 方程组: 由于这里的哈密顿量与时间无关, 可以对时间进行傅立叶变换, 得到:
同样是 Gor'kov 方程.
在无外磁场的情况下, 系统是空间均匀的,
此时哈密顿量只是粒子坐标差的函数. 因此能隙函数 成为一个与坐标无关的常数.
方程可以进一步写成 其中有 从方程组中易解出 其中: 下一小节利用费曼图技术重新推导出这一结果. ### 费曼图法
考虑相互作用绘景下的松原格林函数及各自的费曼图:
图
其中相互作用绘景下的场算符表达式为 有限温下的散射矩阵 表达式为 这一项的展开式从二阶项开始.
用单费米线 图 表示自由粒子系统格林函数 ,
格林函数的展开式就可以表示为
图
回顾前面章节中, 我们用正规自能表示格林函数时有
图
可以按照类似的关系来定义超导格林函数的正规自能:
图
从而得到格林函数 这一结果与前一节的计算结果一致.
类似地, 有反常格林函数的费曼图展开式
图
解出反常格林函数为 费曼图形式的方程组:
图
亦即 Gor'kov 方程.
对超导格林函数变形: 其中有 并且有关系式 . 另外, 谱函数 的表达式为 格林函数的正极点对应着准粒子的能量, 有 其中有 当
时上式取最小值, 在
时这一结果符合弱耦合理论. 这时 称为能隙,
即激发准粒子需要的最小能量.
反常格林函数也可以表示为 ### 物理量的计算 (a) 能隙方程
对于大块的超导体, 我们可以选取 为实数, 能隙函数可以表示为 考虑反常格林函数的傅立叶变换 取 ,
,
就有 能隙函数就可以表示成 即有 其中
是电子-声子相互作用的强度.
由于声子只会导致费米面附近的电子有相互吸引作用,
能隙对动量的积分就可以用对能量的积分乘以态密度来代替,
考虑表征声子能量的德拜频率 , 就有 最后就得到了能隙方程 令 ,
求解方程得到 令 , 得到 并且得到普适关系式 当
时, 有 当 时, 有 (b) 热力学势的计算
前面得到, 热力学势的表达式为 其中 令 , 并取平均场近似, 得到 对上式再取一次平均值, 就有 其中, 由于前面设 为实数, 所以此处有 .
热力学势可以表示为 根据前面得到的能隙方程, 有 代入热力学势表达式中, 就得到 将
视为自由能的增量, 得到表达式 利用自由能可以得到比热的普适关系 其中超导比热 呈指数衰减. 如图2所示.
图
临界磁场具有表达式 这与 BCS 理论给出的结果一致, 如图3所示.
图
- 超导电子动量分布与态密度
计算超导电子的粒子数期望值: 其中费米分布的表达式为 设粒子数分布与自旋指标无关, 则算符和期望值可以在形式上表示成
令 就得到超导电子的动量分布为 当 时, 有 . 在超导电子的动量分布中,
超导态的电子会增加动能, 但是 Cooper pair 的势能减少得更多. 这是一种与
Pauli 不相容原理相关的多体关联效应. 超导电子的动量分布如图4所示.
图
重新将 变形,
有 其中 的物理意义是 态粒子的态密度, 表达式可以写成
其中谱函数
与推迟格林函数有直接联系: 所以电子态密度可以表示成 根据松原格林函数和热力学推迟格林函数之间的关系,
可以直接得到推迟格林函数的表达式 超导电子态密度分布如图5所示, 这一结果与实验测得结果一致.
图
另外, 根据谱定理, 有 从而有 这与前面得到的结果一致.