量子多体理论第四章(2)

发表于 2023-07-02 阅读次数： Waline：

✨（施工中）一个可能很有用的多体理论笔记。

有限温单粒子格林函数, 费曼图技术及其应用

相互作用绘景下的松原格林函数

有限温度下相互作用绘景中的格林函数是后面微扰计算的基础, 与零温时的方法相同, 需要得到海森堡绘景下的场算符和相互作用绘景中的场算符间的关系.

有限温相互作用绘景中的算符

在巨正则系综中, 考虑由此可以定义有限温情况下相互作用绘景中算符(为方便, 暂时不考虑自旋): 其中是薛定谔绘景中的算符, 是相互作用绘景中的算符, 可以得到: 海森伯绘景与薛定谔绘景中的算符有如下关系: 可得到海森伯绘景与相互作用绘景中的算符满足:

有限温相互作用绘景中的“时间”演化算符

类似于零温情况, 可以定义有限温相互作用绘景中的“时间”演化算符, 也就是“虚时”演化算符: 注意这里的变化范围是 . “虚时”演化算符不是幺正算符, 有如下性质：

归一性
传递性
逆算符

由归一性和传递性, 有由此可以定义逆算符: 这里算符的逆是指对于任意算符 , 如果存在算符满足: , , 则称是的逆, 记为 . - 重要关系式这两项关系在下面计算有限温相互作用绘景中算符与海森堡绘景中算符间的关系时十分重要. 将该式代入式(1), 可得考虑自旋指标, 进而得到两个绘景间场算符的关系:

按零温格林函数相互作用绘景中的讨论, 为了进行微扰计算, 需要引入“虚时”演化算符的积分表达式. 按“虚时”演化算符的定义, 容易得到对的微分: 这里最后用到了相互作用绘景中算符的表达式. 上式两边对积分, 有积分左侧为故可得到的积分表达式:

巨正则系综中的玻尔兹曼因子可以用“虚时”演化算符表示为: 证明如下: 已知取 , 有

相互作用绘景下松原格林函数的表达式

下面考虑利用相互作用绘景中的场算符表示有限温度下的松原格林函数. 首先, 配分函数可以表示为: 利用松原格林函数的定义, 可以得到: 分别考虑和的情况.

当时, 只取第一项: 这里 , 可以用“虚时”编时乘积简写为: 由于是玻色型算符, 在编时乘积内部换序不改变符号. 这里最后利用了自由粒子体系中巨正则系综下的平均值公式:

当时, 只取第二项: 对于玻色子, 交换两个场算符不带来符号改变, 而对于费米子, 交换两个场算符将引入一个负号, 故: 与情况结果一样.

这样就得到了相互作用绘景中松原格林函数的表达式: 其中注意这里的均值是自由粒子体系中巨正则系综下的平均值. 特别地, 在自由粒子体系中 , 所以自由粒子体系的松原格林函数可以写为:

同零温时的情况一样, 将格林函数在相互作用绘景中表示出来后, 我们要引入 Wick 定理进行进一步的计算.

Wick 定理

考虑有限温度下相互作用绘景中的场算符 , , 可以定义这两个场算符间的收缩为:

注意这里不同于零温的情况, 收缩是用自由粒子体系中的统计平均定义的, 没有引入正规乘积.

自由粒子体系中令时,

这一公式是后面总结费曼图规则的基础. 注意到, 此时

有限温度下的 Wick 定理

偶数个相互作用绘景下场算符“虚时”编时乘积的统计平均值(自由粒子情况下)可以表示成如下形式:

tu

这里求和包括所有可能的收缩, 是收缩过程中算符交换的次数.

例: 计算 :

下面我们以四个场算符的情况为例来证明有限温度下的 Wick 定理, 这一方法可以推广到更多偶数个算符的情况.

假设 , 如果实际四个算符不满足这一条件, 总是可以经过有限次调换使其满足这一要求, 结果最多相差一个负号. 场算符的坐标并不影响收缩的结果, 以下为方便讨论暂时不考虑坐标, 这样只需证明: 这一式的证明可以考虑场算符总能用产生(消灭)算符展开为: 例如: 这样对场算符的平均可以写为对产生(消灭)算符的平均, 而产生和消灭算符的平均容易计算. 四个场算符的统计平均可以写为: 这样就只需要证明:

从左边直接计算, 为了得到两两收缩的形式我们利用算符的(反)对易关系, 进行如下分解: 上式右边最后一项移到左边得到: 利用统计平均的定义式和求迹的轮换不变性可以得到上式左边为: 其中, 为: $为消灭算符为产生算符$ 这里用到了关系式可以由算符间的对易关系得到.

把上面结果代回式(2), 并把前面的常数因子移到右边, 可以得到: 这和最终要证明的结果已经十分相近了, 进一步的计算只需考虑上式右边的某一项. 以第一项为例, 只需要证明: 其它项显然与上式有相同的关系. 上式的证明有两种方法:

方法一:

方法二: 穷举法

和均为产生或均为消灭算符时, 式(3)两边都为零, 等式显然成立.
和中一个是产生算符另一个是消灭算符, 但时, 式(3)两边也都为零, 等式显然成立.
是消灭算符 , 是产生算符 , 此时 . 分别计算式(3)左右两边得到: $左边右边左边$ 即式(3)成立.
是产生算符 , 是消灭算符 , 此时 . 同样分别计算式(3)左右两边得到: $左边右边左边$ 即(3)成立.

综上所述, 式(3)成立, 从而四个算符情况下的 Wick 定理成立. 对于更多偶数个场算符的 Wick 定理证明方法是类似的.

按有限温度下收缩的定义, 考虑相互作用绘景中场算符, 有:

故在微扰计算中利用 Wick 定理时, 只需要考虑产生和消灭算符间的收缩.

例: 计算下面四个费米子算符的统计平均(暂不考虑自旋):

下面利用 Wick 定理展开相互作用绘景中的松原格林函数: 其中特别地, 对于两体相互作用, 有: 定义如下四维势: 有则两体相互作用可以写作: 为方便, 引入四维坐标 , 这样“虚时”演化算符中对相互作用的“虚时”积分可以写为: 在相互作用小到可以看成微扰时, 能够对“虚时”演化算符进行级数展开, 和零温时一样可以引入相应的费曼图技术进行计算. 与零温时的分析相同, 可以得到: $中分子所有相连图之和所有真空图之和中分母所有真空图之和$ 故用费曼图技术时同样只用考虑相连图, 即: 这里C表示所有相连的图. 进一步, 可以按零温时的方法得到有限温度下的费曼图规则.

松原格林函数的坐标空间费曼图规则

按照 Wick 定理给出的结果, 在相互作用很小的情况下, 可以对"虚时"演化算符进行级数展开. 和零温格林函数类似, 我们也可以引入费曼图技术来计算这种格林函数. 费曼图规则如下.

(i) 画出有条相互作用线(点线)和条粒子线(实线)的所有拓扑不等价相连图. 实线对应 ,

其中, 格林函数的具体表达式为点线对应相互作用 :

[fig 1]

(ii) 对所有内部变量积分, 对所有内部自旋变量求和.

(iii) 所得结果前乘因子 , 其中为闭合费米环数目.

(iv) 的两个时间变量相等时, 解释为:

利用以上规则, 同样可以引入自能图 [fig 2], 定义为:

[fig 3]

类似地, 可以定义正规自能图 [fig 4], 记为 , 定义式为

[fig 5]

正规自能图的展开式(展开到一阶和二阶)为

[fig 6]

利用以上定义的正规自能图, 可以写出松原格林函数的 Dyson 方程为

[fig 7]

松原格林函数的动量空间费曼图规则

考虑松原格林函数的傅里叶变换: 相互作用变换到动量空间下为此外, 考虑两个常用关系式利用以上关系式, 我们可以写出动量空间下的松原格林函数费曼图规则( 阶).

(i) 画出有条相互作用线和条粒子线的所有拓扑不等价费曼图, 即

[fig 8]

(ii) 在每一个顶点保持动量和频率守恒.

(iii) 所得结果前乘因子 , 其中为闭合费米环数目.

(iv) 形成费米闭合环的以及两端与同一个相互作用线相连接的要对应 .

例:

[fig 9]

对应的表达式是

例:

[fig 10]

对应的表达式是

同样地, 动量空间松原格林函数的 Dyson 方程是

[fig 11]

假设相互作用与自旋无关, 那么可以用正规自能把动量空间的松原格林函数表达出来, 有这样, 问题就转化成了计算正规自能. 下面, 与上一章类似, 可以引入正规自能骨架图来明确一些近似方法:

[fig 12]

同样地, 可以引入极化图 , 表示为 [fig 13], 以及正规极化图 , 表示为 [fig 14]. 于是有效相互作用可以表示为

[fig 15]

从中可以解出

在频率表象下, 热力学量的平均值很容易计算出来, 在此给出结论:

介绍完频率求和后, 我们将以热力学势为例进行具体计算.

松原格林函数的频率求和方法

在热力学量的计算中, 总会有形如的级数求和, 下面分别就玻色子系统和费米子系统两种情况计算一般形式的松原频率求和.

(a) 玻色子系统需要计算的级数的一般形式为考虑一个围道积分假设有那么根据复变函数的 Jordan 引理, 应有 . 也就是的留数应为零.

的极点是 . 当时, 有于是有无穷多个极点. 下面利用洛必达法则, 验证它们都是一阶极点: $常数$ 假设和的留数不重合, 于是有上的阶极点留数的计算公式即有于是得到频率求和公式 (b) 费米子系统需要计算的级数同样考虑围道积分假设有与玻色子情况相同, 此时应有 . 的极点设为 , 在虚轴上有无穷多极点, 留数值为 . 于是有于是得到费米子的频率求和公式例: 有限温度下的 Lindhard 方程(费米子情况)

需要计算的圈图是

[fig 16]

即需要计算松原级数由于两个格林函数都是费米型, 即和是费米型, 于是应为玻色型, 即令: 上式有两个极点: 于是由留数定理, 有其中有最终得到

作业完成下列三个费曼图的内部频率和自旋求和.

[fig 17]