量子多体理论第四章(1)

有限温单粒子格林函数, 费曼图技术及其应用

目前为止我们讲到的三种格林函数都是零温情况的, 它们分别是因果格林函数, 推迟格林函数和超前格林函数. 其中, 因果格林函数可以利用 Wick 定理展开.

现在要讨论的是有限温度下的系统. 可以引入有限温度下的因果、推迟和超前热力学格林函数, 但不能直接由零温格林函数通过代换基态平均得到. 此时必须考虑另外一种格林函数. 日本京都大学的松原教授提出一个非常巧妙的方案, 人们称为松原格林函数, 也称为虚时格林函数. 在有限温度中, 只有这种格林函数可以利用费曼图技术, 其他格林函数可以利用相互之间的关系式求出来. 下面介绍松原格林函数.

单粒子松原(Matsubara)格林函数

考虑有限温度时, 采用巨正则系综比较方便.

巨正则系综下, 哈密顿量改写为: , 其中 是系统的化学势, 是总粒子数算符.

有限温情况下, 需要引入密度算符处理混合态: 其中 , 是巨正则系综的配分函数, 表达式为 巨正则系综下, 有类似于正则系综中自由能的热力学势 配分函数可以用热力学势表示为 相应的可以把密度算符表示成 巨正则系综中, 算符的平均值可以用密度算符表示为 通常通过粒子数算符的平均值来确定化学势 , 有

设 不显含时间, 巨正则系综的场算符在诸绘景下可以表示为:

• 薛定谔绘景:
• 海森伯绘景: 与零温情况相比, 称为虚时, 取值范围 . 此处需要注意的是, 虚时情况的海森伯绘景场算符并不是厄米算符, 即

有限温格林函数将采用海森伯绘景下的虚时场算符. 下面给出单粒子松原格林函数的定义.

单粒子松原格林函数

## 诸物理量的表示

单体算符的平均值

单体算符的一般表达式为 单体算符在有限温下的平均值表示为 若 与自旋无关, 即 则有 例: 总动量算符 例: 总粒子数算符 例: 总自旋算符 ### 两体相互作用 两体相互作用可以写作 考虑两体相互作用与自旋无关, 则两体相互作用的平均值为 ### 内能 内能可以表示为体系哈密顿量的热力学平均, 即 ### 热力学势 的计算公式 巨正则系综下, 热力学势 是一个很重要的物理量. 如果可以计算出体系的热力学势, 就可以得到体系的很多信息. 仿照上一章计算零温基态能的第二种方式, 引入如下赝哈密顿量: 其中 . 表示自由粒子体系的哈密顿量, 通常是总动能 . 表示粒子间的相互作用, 通常考虑两体相互作用 . 时, 表示不考虑相互作用的自由粒子体系的哈密顿量; 时, 是相互作用体系真实的哈密顿量; 区间内的 对应的哈密顿量 , 只是为了方便数学计算, 并不对应实际的哈密顿量. 对于巨正则系综, 还可以引入: 其中 按巨配分函数的定义, 可以得到 对应的巨配分函数: 则赝哈密顿量 对应的热力学势为: 如果我们计算出单粒子松原格林函数表示巨配分函数 的形式, 很快就可以得到用单粒子松原格林函数表示热力学势 的表达式, 但是 的单粒子松原格林函数表示形式并不容易得到. 按之前计算基态能的方法, 在上式两边对 求偏导, 得到: 这样上式两边再对 从 0 到 1 积分就可以得到相互作用体系的热力学势 的表达式, 这似乎还是需要计算 , 而且还要计算 . 但在实际计算过程中, 会被消去, 只需要计算 . 下面就来计算这一项: 这里利用了密度矩阵的表达式，最后的均值与 有关，而且是将 看成一个整体的相互作用进行计算, 所以 不能提出来消去. 故: 其中利用了热力学势与巨配分函数的关系式. 这样两边对 积分得到: 最终得到: 其中 是自由粒子体系的热力学势. 考虑两体相互作用, 即 , 参考利用单粒子松原格林函数表示 的表达式, 可以得到完全类似的 的表达式 (将整个 看成 , 此时的松原格林函数将与 有关). 这样可以得到用单粒子松原格林函数表示热力学势的最终表达式: 有了热力学势, 就可以得到诸多物理量: ## 单粒子松原格林函数的若干性质及傅立叶变换 ### 单粒子松原格林函数的对称性 与零温单粒子格林函数相同, 当体系(或哈密顿量)具有某种对称性, 相应的单粒子松原格林函数可以进行简化:

• 若 不显含时间, 则
• 若体系是空间均匀的, 即 , 其中是总动量算符, 则
• 若相互作用与自旋无关, 则 其中

单粒子松原格林函数的周期性与反周期性

考虑体系的哈密顿量不显含时间, 即 这里定义了 , 由 可知 . 这时可以得出单粒子松原格林函数有如下周期性(反周期性): 其中 对应玻色子, 对应费米子. 将该关系表示在数轴上, 如图1所示.

图1

下面来证明这一关系. 由单粒子松原格林函数的定义式: 可以看出由于虚时编时乘积的作用, 和 时的单粒子松原格林函数的表达式不同, 由此引入了周期性或反周期性. 下面分别讨论这两种情况下单粒子松原格林函数的表达式.

1. , 即 :
2. , 即 : 这样就证明了单粒子松原格林函数的周期性(反周期性).

单粒子松原格林函数对“虚时”的傅里叶变换

与零温格林函数的傅里叶变换不同, 有限温格林函数中的 “虚时” 是在 区间内变换, 而且具有周期性或反周期性. 零温格林函数中的时间是从 区间内变换, 所以可以引入平面波表象进行连续的傅里叶变换. 而有限温格林函数需要进行分立的傅里叶变换, 引入如下在 区间内完备的波函数(三角函数基): 这一组完备波函数满足如下正交关系和完备关系: 暂时忽略坐标和自旋, 单粒子松原格林函数的傅里叶变换(傅里叶级数展开)定义为: 相应逆变换(傅里叶变换的分量)为: 进一步考虑 的分段性质可以得到: 利用(反)周期性上式第一项可以写为: 这样我们可以只用 时的单粒子松原格林函数 表示 : 对于玻色子和费米子, 分别有:

• 玻色子: 为偶数时, 可能不为零;
• 费米子: 为奇数时, 可能不为零.

故最终可以得到: 由于 在 区间内就是 , 所以上式还可以更一般地写为: 其中 ## 自由粒子的单粒子松原格林函数 自由粒子系统的单粒子零温格林函数在微扰计算中十分重要, 同样, 自由粒子系统的单粒子松原格林函数在微扰计算中也是十分重要, 下面计算其具体的形式.

自由粒子体系的哈密顿量可以在平面波表象下写成如下二次量子化的形式: 有限温度下, 有: 薛定谔绘景下的场算符也可以用平面波展开为: 而有限温度下, 海森堡绘景中的场算符可以写作: 把 和 的平面波展开代入到上式, 利用算符间的对易关系得到: 由单粒子松原格林函数的定义式可以得到自由粒子体系的单粒子松原格林函数: 利用有限温度下海森堡绘景中场算符的平面波展开, 我们可以分别计算上式中的两项. 首先计算第一项: 其中: 这里 是自由粒子体系的单粒子分布函数: 这样第一项可以写为: 与第一项的计算过程完全相同, 第二项可以写为: 故自由粒子的单粒子松原格林函数可以表示为: 考虑粒子数算符的平均值: 注意这里 , 所以只需考虑第二项. 同样地, 内能的平均值可以写为: 考虑自由粒子体系单粒子松原格林函数的傅里叶变换: 其逆变换为: 只需考虑 的情况, 也就是在傅里叶变换中只需考虑前面计算得到的第一项: 分两种情况讨论:

• 玻色子. 此时 , 有:
• 费米子. 此时 , 有:

两种情况结果相同, 可以得到一个统一的表达式: 这是之后费曼图展开后的基本单元.

单粒子松原格林函数的 Lehmann 表示

为了进一步考虑单粒子松原格林函数的解析性质, 我们引入单粒子松原格林函数的 Lehmann 表示. 和零温情况一样, 单粒子松原格林函数的 Lehmann 表示也是考虑均匀的系统, 即, 存在一组完备力学量组 , 它们彼此对易, 存在一组共同的本征态 , 满足如下关系: 在有限温情况下, 我们通常考虑 , 用它代替 有: 和零温时计算 Lehmann 表示相同, 我们在格林函数中插入一组完备关系. 不同的是, 零温时只考虑基态平均, 但在有限温的情况下需要考虑对所有可能状态的量子统计平均. 由定义式, 有: 先考虑第一项, 有: 下面计算两矩阵元. 有限温度下, 海森堡绘景中的场算符可以写作: 其中 是薛定谔绘景下的场算符, 可以用平面波展开为: 取 , 有 由总动量算符的定义 可以得到 下面证明该式. 利用 Campbell-Baker-Hausdorff 公式: 这里令 , , 则 其中: 代回原表达式中, 有: 即: 利用上式, 可将薛定谔绘景下的场算符表示为: 所以 代入矩阵元中可以得到: 这里定义了 类似地, 有

将计算得到的矩阵元表达式带回 , 有: 注意 最后表达式中暗含求和中只有 的项不为零. 同理可以得到: 这里也是 时的项不为零. 这样可以得到: 整体只有 时的项不为零.

下面计算动量空间中的格林函数, 前面已经讨论过单粒子松原格林函数的傅里叶变换可以只用 的部分表示, 有: 这里最后考虑了对于玻色子体系和费米子体系具体的松原频率. 可以看出相比于零温情况, 有限温度下的单粒子松原格林函数的 Lehmann 表示只包含一项, 其形式似乎更简单.

同样地, 可以引入谱函数: 单粒子松原格林函数可以用谱函数表示: 如果考虑相互作用与自旋无关, 则有: 引入谱函数: 则单粒子松原格林函数可以用谱函数表示为: 下一节将证明 是归一化的. 可以看到, 单粒子松原格林函数的 Lehmann 表示与粒子态密度相关.

其他单粒子热力学格林函数(实时)

引入 Lehmann 表示后可以很方便地讨论有限温度下三个热力学格林函数间的关系以及它们与松原格林函数的关系. ### 其他单粒子热力学格林函数的定义 >> 因果格林函数 >> >> 取 时应得到零温格林函数.

推迟格林函数

超前格林函数

其他单粒子热力学格林函数的 Lehmann 表示

考虑相互作用与自旋无关, 可以得到上述三种单粒子热力学格林函数的 Lehmann 表示.

• 因果格林函数: 实部与虚部分别为: 可得到实部与虚部间的关系为: 此即色散关系.
• 推迟格林函数: 可得实部与虚部分别为: 实部与虚部间的关系为:
• 超前格林函数: 可得实部与虚部分别为: 实部与虚部间的关系为:

可见, 只要知道了谱函数 , 就能得到所有的格林函数: , , , .

作业 证明: ### 各种单粒子格林函数间的关系 相互作用与自旋无关时, 不同的格林函数之间满足关系: 可以看出松原格林函数与热力学推迟格林函数间有如下关系: 解析延拓后得到 通常我们先利用有限温度下的费曼图技术得到松原格林函数的解析结果, 进一步得到热力学推迟格林函数, 而后得到全部的热力学格林函数.

最后, 我们证明谱函数 是归一化的.

一方面, 当相互作用与自旋无关时, 推迟格林函数可表示为: 取 , 有 做傅里叶变换后得到: 另一方面, 将推迟格林函数用谱函数表示, 有 比较两式便可得 即谱函数归一.

相互作用绘景下的单粒子松原格林函数

有限温度下相互作用绘景中的格林函数是后面微扰计算的基础, 与零温时的方法相同, 需要得到海森堡绘景下的场算符和相互作用绘景中的场算符间的关系.

有限温相互作用绘景中的算符

在巨正则系综中, 考虑 由此可以定义有限温情况下相互作用绘景中算符(为方便, 暂时不考虑自旋): 其中 是薛定谔绘景中的算符, 是相互作用绘景中的算符, 可以得到: 海森伯绘景与薛定谔绘景中的算符有如下关系: 可得到海森伯绘景与相互作用绘景中的算符满足: ### 有限温相互作用绘景中的“时间”演化算符 类似于零温情况, 可以定义有限温相互作用绘景中的“时间”演化算符, 也就是“虚时”演化算符: 注意这里 的变化范围是 . “虚时”演化算符不是幺正算符, 有如下性质：

• 归一性
• 传递性
• 逆算符

由归一性和传递性, 有 由此可以定义逆算符: 这里算符的逆是指对于任意算符 , 如果存在算符 满足: , , 则称 是 的逆, 记为 . - 重要关系式 这两项关系在下面计算有限温相互作用绘景中算符与海森堡绘景中算符间的关系时十分重要. 将该式代入式(1), 可得 考虑自旋指标, 进而得到两个绘景间场算符的关系: 按零温格林函数相互作用绘景中的讨论, 为了进行微扰计算, 需要引入“虚时”演化算符 的积分表达式. 按“虚时”演化算符的定义, 容易得到 对 的微分: 这里最后用到了相互作用绘景中算符的表达式. 上式两边对 积分, 有 积分左侧为 故可得到 的积分表达式: 巨正则系综中的玻尔兹曼因子可以用“虚时”演化算符表示为: 证明如下: 已知 取 , 有 ### 相互作用绘景下单粒子松原格林函数的表达式 下面考虑利用相互作用绘景中的场算符表示有限温度下的松原格林函数. 首先, 配分函数可以表示为: 利用单粒子松原格林函数的定义, 可以得到: 分别考虑 和 的情况.

当 时, 只取第一项: 这里 , 可以用“虚时”编时乘积简写为: 由于 是玻色型算符, 在编时乘积内部换序不改变符号. 这里最后利用了自由粒子体系中巨正则系综下的平均值公式: 当 时, 只取第二项: 对于玻色子, 交换两个场算符不带来符号改变, 而对于费米子, 交换两个场算符将引入一个负号, 故: 与 情况结果一样.

这样就得到了相互作用绘景中单粒子松原格林函数的表达式: 其中

注意这里的均值是自由粒子体系中巨正则系综下的平均值. 特别地, 在自由粒子体系中 , 所以自由粒子体系的单粒子松原格林函数可以写为: 同零温时的情况一样, 将格林函数在相互作用绘景中表示出来后, 我们要引入 Wick 定理进行进一步的计算.

Wick 定理

考虑有限温度下相互作用绘景中的场算符 , , 可以定义这两个场算符间的收缩为:

tu

注意这里不同于零温的情况, 收缩是用自由粒子体系中的统计平均定义的, 没有引入正规乘积.

自由粒子体系中令 时,

tu

这一公式是后面总结费曼图规则的基础. 注意到, 此时

tu

有限温度下的 Wick 定理

偶数个相互作用绘景下场算符“虚时”编时乘积的统计平均值(自由粒子情况下)可以表示成如下形式:

tu

这里求和包括所有可能的收缩, 是收缩过程中算符交换的次数.

例: 计算 :

tu

下面我们以四个场算符的情况为例来证明有限温度下的 Wick 定理, 这一方法可以推广到更多偶数个算符的情况.

假设 , 如果实际四个算符不满足这一条件, 总是可以经过有限次调换使其满足这一要求, 结果最多相差一个负号. 场算符的坐标并不影响收缩的结果, 以下为方便讨论暂时不考虑坐标, 这样只需证明: 这一式的证明可以考虑场算符总能用产生(消灭)算符展开为: 例如: 这样对场算符的平均可以写为对产生(消灭)算符的平均, 而产生和消灭算符的平均容易计算. 四个场算符的统计平均可以写为: 这样就只需要证明: 从左边直接计算, 为了得到两两收缩的形式我们利用算符的(反)对易关系, 进行如下分解: 上式右边最后一项移到左边得到: 利用统计平均的定义式和求迹的轮换不变性可以得到上式左边为: 其中, 为: 这里用到了关系式 可以由算符间的对易关系得到.

把上面结果代回式(2), 并把前面的常数因子移到右边, 可以得到: 这和最终要证明的结果已经十分相近了, 进一步的计算只需考虑上式右边的某一项. 以第一项为例, 只需要证明: 其它项显然与上式有相同的关系. 上式的证明有两种方法:

方法一: 方法二: 穷举法

• 和 均为产生或均为消灭算符时, 式(3)两边都为零, 等式显然成立.
• 和 中一个是产生算符另一个是消灭算符, 但 时, 式(3)两边也都为零, 等式显然成立.
• 是消灭算符 , 是产生算符 , 此时 . 分别计算式(3)左右两边得到: 即式(3)成立.
• 是产生算符 , 是消灭算符 , 此时 . 同样分别计算式(3)左右两边得到: 即(3)成立.

综上所述, 式(3)成立, 从而四个算符情况下的 Wick 定理成立. 对于更多偶数个场算符的 Wick 定理证明方法是类似的.

按有限温度下收缩的定义, 考虑相互作用绘景中场算符, 有:

tu

故在微扰计算中利用 Wick 定理时, 只需要考虑产生和消灭算符间的收缩.

例: 计算下面四个费米子算符的统计平均(暂不考虑自旋):

tu

下面利用 Wick 定理展开相互作用绘景中的松原格林函数: 其中 特别地, 对于两体相互作用, 有: 定义如下四维势: 有 则两体相互作用可以写作: 为方便, 引入四维坐标 , 这样“虚时”演化算符中对相互作用的“虚时”积分可以写为: 在相互作用小到可以看成微扰时, 能够对“虚时”演化算符进行级数展开, 和零温时一样可以引入相应的费曼图技术进行计算. 与零温时的分析相同, 可以得到: 故用费曼图技术时同样只用考虑相连图, 即: 这里C表示所有相连的图. 进一步, 可以按零温时的方法得到有限温度下的费曼图规则.