量子多体理论第二章(6)

双时推迟(超前)格林函数及其应用

Mermin-Wagner 定理

Mermin-Wagner 定理的证明

铁磁海森伯模型的哈密顿量为 其中 . 这里最后一项是所谓的塞曼项, 是在外磁场下的能量, 引入外磁场是为了方便确定磁矩的方向, 时对应自发磁化的情形.

首先引入各算符的傅里叶变换: 写成分量的形式有 这里要注意的是上述对 的求和都是在第一布里渊区内进行的. 可以证明 空间中算符的对易关系和格点空间中的情况不同: 这里可以简单证明其中一个对易式, 其它对易式的证明都是类似的: 空间中的算符的复共轭也和格点空间中的情况不同: 同样给出一项的证明, 其它项的证明是类似的:

下面将哈密顿量进行傅里叶变换. 第一项: 其中 是结构常数: 第二项: 第三项: 这样可以得到哈密顿量的傅里叶变换:

在玻式不等式中取 利用玻式不等式可以得到: 由于 这样玻式不等式两边可以同时除以这一项, 并对 求和得到: 下面计算不等式中的各项: - 不等式左方

这里最后一行是考虑了 与格点无关, 并考虑自旋为 的情况.

• 不等式右方分子

利用对易关系可以得到这一项与 无关: 这里要说明的是如下傅里叶变换: 这里最后同样是考虑 与格点无关, 且定义了. 将上式的结果代回到右方分子的表达式中得到:

• 不等式右方分母 代入具体哈密顿量的表达式, 有 前面已经讨论过该项是大于零的实数, 所以有:

作业15

验证 综上, 将前面计算的结果代回到原不等式中, 最终可以得到: 下面通过这一不等式判断 时, 是否为零, 从而确定体系是否有自发磁化, 进而是否有铁磁性. 为进一步计算, 需要将上式在第一布里渊区中的求和变为 空间的积分. 对于规则的晶格(一维链、二维正方、三维简立方), 设晶格常数为 , 维数为 , 求和可以由如下积分替换: 这里要注意的是积分中 的上限是德拜半径 . 下面列出三个维度的结果:

• 一维链 可以看出 时, 不等式右边为也趋于 可以选择磁场方向使其大于零, 这种情况下意味着 时, . 也就是说一维海森堡铁磁模型没有自发磁化, 进而没有铁磁性.

• 二维正方 同样可以看出不等式右边在 时趋于 0 , 导致 . 故二维海森堡铁磁模型没 有自发磁化, 也没有铁磁性.

• 三维简立方 可以看出 时, 不等式右边是有限的, 有 , 也就是说三维情况 下体系是有可能有自发磁化的, 进而出现铁磁现象.

下面给出一维情况下积分的计算. 不等式右边: 对于一维晶格有: 代回到不等式得到: 两边平方: 移项: 即:

作业16

验证二维正方的情况.