量子多体理论第二章(5)

双时推迟(超前)格林函数及其应用

首先对上讲内容作一点讨论.

其中 代表子格 中 格点上自旋算符, 为 子格中 格点上自旋.

这里的反铁磁双子格模型哈密顿量的横向分量可以写成更简单的形式:

在上式给出的哈密顿量中, 若对第二项的求和下标做代换, 令 , 有 其中, 最后一步利用了近邻格点的中心对称性, 对 格点和 格点求和相等. 这样, 原来由四项组成的哈密顿量就可以重新归并为两项, 有

格林函数方法的实际应用

对反铁磁海森伯模型的应用

格林函数理论

利用格林函数的傅立叶变换定义式 取 , 可以得到 利用玻色分布的谱定理, 可以计算 引入函数 并利用 , 就有 从而得到自旋均值的形式解 这一结果与铁磁体的结果相似, 但函数 和 的具体表达式不同, 所以两种系统的临界温度 (居里温度)和 (奈尔温度)不同. 下面分别讨论在低温和高温近似下自旋的具体表达式.

1. 低温情况()

取低温极限()后, 函数 中 第一项 无贡献, 第二项中 , 所以 对于简单立方晶格(sc), . 此时自旋的均值表示为 代回磁矩的表达式中, 有 与自旋波理论的结果一致.

当 时, 磁矩表达式为

2. 高温情况()

高温情况下, 计算自旋均值的分母: 在 附近, 有 是小量, 因此双曲函数可以用 0 附近的展开式 表示. 带入自旋均值的表达式, 就有 引入函数: 表达式变成: 利用 时, , 可以反解出 的表达式: 当 时, 可以写出自旋均值与温度的依赖关系: 与铁磁体情形的依赖关系相同.

以上我们讨论的都是三维体系, 此时各物理量能够得到有限值. 但是反铁磁情形在一维和二维情况下也会发散, 即有限温没有反铁磁序. 对这一现象的严格讨论需要用到 Mermin-Wagner 定理.

Mermin-Wagner 定理

Mermin-Wagner 定理.

​ The one- and two-dimensional isotropic Heisenberg models with interaction of finite range can be neither ferromagnetic nor antiferromagnetic at nonzero temperature.

(一维和二维各向同性的短程相互作用海森堡模型在有限温下不会出现铁磁序和反铁磁序.)

N. D. Mermin, H. Wagner, Phys. Rev. Lett. 17, 1133(1966)

这一定理的表述需要用到 Bogoliubov 不等式. 下面先来证明这一不等式.

1. Bogoliubov 不等式(玻氏不等式) 其中:

• 和 是量子力学算符, 为哈密顿算符.
• .
• , 其中
• 的本征值方程是 , 本征态是正交归一的, , .

2. 玻氏不等式的证明

引入运算 其中 在证明玻氏不等式之前, 首先需要证明以下三个不等式:

首先证明(3).

不等式左边有 , 因此 恒为正, 成立.

考虑不等式右边: 其中利用了 . 这样就证明了式(3), 即

接下来证明式(4).

在式(2)中, 令 , 得到

接下来证明式(5).

根据式(2), 有 取共轭得: 此外, 运算具有性质 * ( 为复常数). * . * .

考虑如下不等式: 其中取 不等式变成

下面开始证明玻氏不等式.

令 , 有 即: 于是有 以及

作业14

验证式(8).

回到式(5), 有 其中取 , 不等式左边 利用(4)式, 用(8)式, 不等式右边用式(7), 就得到了 此即玻氏不等式.