双时推迟(超前)格林函数及其应用
格林函数方法的实际应用
对反铁磁海森伯模型的应用
双子格模型
当海森伯哈密顿量中 时,
近邻格点上的自旋趋于反平行排列, 这时可以把晶格分为两个子格,
在每个子格中自旋平行排列与铁磁情况一样, 但两个子格的自旋取向相反,
因此总的自发磁化相互抵消, 这就是反铁磁体的双子格模型: 其中 子格表示自旋向上,
子格表示自旋向下.
下面我们从双子格模型出发, 讨论海森伯哈密顿量的基态和激发态.
设每个子格中自旋数为 ,
总的磁离子数为 , 并取体积 . 则 可以用
两子格的自旋算符表示为: 其中 代表子格 中 格点上自旋算符, 为 子格中 格点上自旋. 假设子格 的量子化轴沿 方向, 沿 方向, 我们将所有 子格中自旋沿 向排列, 中沿 向排列的状态称为出发状态 : 有关系 说明
对应于子格 中的消灭算符, 对应于子格 的消灭算符.
分别定义子格总自旋算符: 可以得到Neel态是子格总自旋算符的本征态: 但遗憾的是 Neel 态并不是哈密顿量的严格本征态, 因为:
为了确定反铁磁海森堡模型的基态, 我们首先要确定基态能的范围.
根据变分法, 哈密顿量在任意态下的均值一定大于等于基态能,
这里可以用哈密顿量在 Neel 态下的均值作为基态能上限:
作业 13
证明
参考 PW. Anderson. phys. Rev. 83(1951)1260, Anderson
给出了基态能下限为: .
最终可以得到反铁磁基态能在如下范围内: 特别地, 当 ,
体系是简单立方晶格 时,
反铁磁基态能在如下范围:
下面分别用自旋波理论和格林函数理论讨论反铁磁海森堡模型.
反铁磁海森伯模型的若干理论结果
- 反铁磁自旋波理论
该节参考 R. Kubo. phys. Rev. 87. (1957)568.
分别对两个子格引入波色子算符 , 满足 由于 子格自旋朝上,
可仿铁磁情况作 H-P 变换, 引入子格
的产生及消灭算符 对于 子格 与 的作用将颠倒, 应定义 代入哈密顿量, 并略去算符的四次项, 求得低温近似的哈密顿量:
其中
为子格中自旋数.
引入傅里叶变换(平面波展开): 和 可以证明
也满足玻色子对易关系. 这样反铁磁海森堡模型的哈密顿量可以化为: 其中略去了高阶项. 上式中第一项是出发状态的能量,
第二项代表各子格中自旋波, 第三项为交叉项代表两子格自旋波的相互作用.
该式说明本征模式应当是两个子格自旋波的组合.
下面用Bogoliubov变换方法及格林函数方法处理这个近似哈密顿量.
- Bogoliubov变换方法
Bogoliubov变换的本质思想是引入组合的自旋波算符, 消除交叉项, 使 对角化.
第一步: 考虑如何组合两个子格中的自旋波算符. 先考察子格算符的运动方程:
上式说明, 应当组合 与 以及 与 构成两套新的自旋波算符 和 : 这里 和 设为实函数, 上式为正则变换.
应当指出, 作正则变换时要保证所有的对易关系在形式上不改变,
这是检验变换式的一个重要物理条件.
第二步: 要求变换后新算符仍满足玻色对易式, 即
用
举例. 将上面的变换代入, 可得: 即可求得 与 的一个关系式:
利用上式可以写出逆变换:
第三步: 要求用新算符 表示的哈密顿量 对角化, 将得到 与
的另一个关系式, 从而具体解出
与 .
将逆变换代入哈密顿量表达式, 得: 为使 对角化,
要求非对角项 的系数等于零, 即 上式与联立可解出 将此结果代入, 求得对角化哈密顿量 其中 为常数. 这里的 代表反铁磁自旋波量子: 可以看出, 对于每个
存在两支简并的反铁磁自旋波, 分别由 和 代表其准粒子数算符, 记为 和 .
将反铁磁自旋波哈密顿量作用到本征态 上, 有本征方程 可在粒子数表象下标记 : 对于磁振子真空态 , 有 则
现在讨论反铁磁体的基态. 基态能量 应当是无准粒子激发时 的本征值: 其中 由于 , 故 . 反铁磁体的基态能量介乎出发状态 的能量 与 之间.
下面我们以简单立方为例验证这点.对简单立方, 考虑 , 配位数 , , 则 这个数据在前面得到的
范围中. 可以看到, 基态并不完全像双子格模型所建议的磁有序状态.
在基态每一子格中自旋不是完全平行的, 而是存在着取向的不一致性.
下面讨论 子格的饱和磁化强度.
总自旋的 分量算符可表示为 则基态 子格自旋平均值为
上式右边第一项代表子格
中所有自旋取向完全一致时的贡献, 对应于子格的饱和磁化.
第二项为子格中自旋取向的平均偏离量. Anderson算出对于简单立方晶格, 有
其中 来自量子效应.
由此可知在基态中子格的自旋并非绝对取向一致, 而是相对饱和值 有少量的平均偏离,
这种取向的无序性与反铁磁体中自旋波量子的零点运动有关. 零温情况下, 磁矩
下面考虑有限温度(接近0 K), 此时 由于 和
均为玻色算符,
对应的激发量子平均数服从玻色分布, 有: 则 注意到 , 在 时, 有如下渐进性质: 则 其中 为一常数.
最终的磁矩表达式可以写为: 其中
为比例系数.
- 格林函数方法
回到近似哈密顿量
考虑 子格的磁矩 .
参考铁磁自旋波理论中磁矩的计算, 可以得到: 可以利用格林函数法计算 , 为此需引入如下格林函数: 运动方程: 其中计算 时,
需要计算如下对易关系: 代回到运动方程中我们得到: 其中引入了额外的格林函数: 同样地, 我们可以得到 的运动方程: 联立上两式, 并对时间进行傅里叶变换, 可以得到: 解得: 为了方便计算虚部我们要将
分解为两个有明显一阶极点的分数求和, 为此我们要先计算极点,
也就是分母的一阶零点: 为方便表示, 设: 这样只需要计算如下方程： 解得两个极点为: 其中 考虑到如下关系: 最终可以得到: 其中 同理有: 这样很容易得到格林函数的虚部: 利用谱定理可以得到： 故 子格的磁矩 为:
下面考虑零温情况. 考虑到: 带入到反铁磁自旋波模型的磁矩表达式中, 得到: 与前面玻式变换方法得到的结果一致.
对于基态能量, 有: 其中
需要说明的是, 可以通过格林函数 计算,
利用谱定理得到:
- 格林函数理论
应用格林函数理论时, 不需要对哈密顿量进行简化,
而是利用反铁磁双子格模型的原始哈密顿量: 为此, 定义如下格林函数: 运动方程中出现的对易关系: 做截断近似, 取: 则运动方程可以化为:
类似之前的做法, 对时间进行傅里叶变换: 再对空间进行傅里叶变换: 为方便表示, 设: 代回到原方程组得到:
为进一步化简需要计算分母的零点: 解得： 其中 利用如下关系: 最终可以得到格林函数为: 其中 利用格林函数间的关系, 可以得到: