双时推迟(超前)格林函数及其应用
运动方程法
(……续上次)
需要注意的是: - 求系统的激发谱, 总粒子数不变, 选择的算符 和 也必须保持粒子数不变. -
对于有限温度下全同费米子系统或全同玻色子系统的一些量子统计,
考虑巨正则系综非常方便. 正则系综也能算出来, 但更复杂.
下面计算粒子态密度. 考虑巨正则系综, 总粒子数可以表示为: 其中 是费米子分布概率(平均占据数). 就是粒子态密度,
也称为态密度, 具体表达式为: 虽然这个结果是用无相互作用系统推出的, 但其是普适的.
对于有相互作用系统, 只需要将
替换为有相互作用的格林函数即可.
回到无相互作用系统, 在三维情况下
格林函数方法的实际应用
对铁磁海森伯模型的应用
海森伯模型
海森伯模型是描述磁性绝缘体的模型, 由海森伯于1928年提出,
后来Dirac于1929年给出自旋为
时该模型哈密顿量的证明, 1963年Anderson证明了自旋大于 时的海森伯模型.
海森伯模型的哈密顿量为: 其中 表示对 的全部格点求和, 表示第 个格点的自旋算符. 从泡利不相容原理来,
是交换积分. 当
时可以描述铁磁体, 时可以描述反铁磁体.
下面给出几个常见的“海森伯”模型.
设哈密顿量为: 其中 是横向部分, 是纵向部分,
两部分在自旋动力学中作用不同. 有如下几种情况: - , 海森伯模型——无严格解; -
, X-Y
模型——部分(低维)有严格解; - , Ising 模型——部分(低维)有严格解.
对于海森伯模型, 如果 其中
表示最近邻格点的矢差, 这时的模型称为各向同性紧束缚海森伯模型.
下面我们主要讨论该模型, 其哈密顿量为:
在进一步讨论这个模型前, 我们先回顾一下有关自旋算符的内容:
铁磁海森伯模型的若干理论结果
考虑各向同性的铁磁海森伯模型, 其哈密顿量为: 对于铁磁海森伯模型, .
上式最后一行利用了不同格点间算符的对易关系(1),
同时考虑到求和是对全体格点进行的.
下面简单讨论一下铁磁海森伯模型的基态和激发态.
- 基态、激发态
- 基态
直接考虑能量的基态并不容易, 通常我们寻找与哈密顿量对易的算符,
求得共同本征态, 进而确定能量本征态. 这里我们可以考虑总自旋算符和沿 方向的总自旋算符: 注意到: 可以得到: 所以 和 有共同本征态,
利用前面给出的 和
的共同本征态,
可以得到体系的本征态为: ,
可以预期体系的基态为 :
将 记为 , 可以证明 也是哈密顿算符 的本征态, 对应的本征值为 : 其中
为配位数(证明留作作业).
- 低能激发态
考虑某一个格点上的自旋偏转, 此时的态为 , 即 可以证明 且 但 不是 本征态(证明留作作业).
可用 个简并态的线性组合构造
和 的共同本征态:
其中波矢
在第一布里渊区内.
叫做自旋波态, 本征方程为: 其中 为结构因子:
对于三种立方晶格, 结构常数 的取值 (取 为晶格常量): 考虑
时的渐进性质, 有: 对三种晶格, 均有 在此极限下, 系统无限接近基态, 故称
为低能激发态.
- 铁磁自旋波近似
铁磁自旋波理论只能描述低温区 .
哈密顿量为: 做Holstein-Primakoff变换(H-P变换): 其中引入了玻色型算符 , 满足如下对易关系:
再通过点阵傅里叶变换引入新的玻色算符: 其中
表示正格矢. 新引入的算符同样满足玻色子的对易关系: 这样, 在自旋波近似下,
铁磁海森伯模型的哈密顿量可以写为自旋算符微扰展开的形式: 其中
是式(2)中的基态能,
是式(3)中磁振子的能量, 玻色子算符 和 是磁振子的产生湮灭算符.
上述哈密顿量也被称为自旋波哈密顿量,
这种处理方法就是铁磁自旋波理论,
在自旋波无相互作用时通常只考虑前两项,
但是处理一些非线性问题时需要考虑高阶项.
下面简单讨论一下低温磁化率的计算. 实验中发现磁矩在低温区以 趋近于饱和, 在临界温度处以
趋于0(这里 为居里温度,
是铁磁和顺磁相变的临界温度). 先考虑总磁矩的计算, 利用H-P变换可以得到:
其中利用了 两边取均值便得到: 为计算 , 可以采用格林函数: 仿照自由电子体系的求解可以得到格林函数的傅里叶变换为: 利用谱定理可以得到均值 为: 这就是自由玻色子的分布函数.
考虑到自旋波理论只适用于低能态, 类比德拜模型,
可以近似计算(证明留作作业): 这里的
属于第一布里渊区. 代回到磁矩均值的表达式中可以得到: 是前面的系数.
这一结果与实验上得到的结果是符合的, 由布洛赫首次得到,
因此也被称为布洛赫 定律.
需要注意的是, 虽然采用格林函数计算 , 但其并不是格林函数方法,
而仍然是铁磁自旋波近似方法. 下面我们来介绍格林函数方法.
- 格林函数方法(考虑)
格林函数方法适用于任何情况, 但是有时无法严格求解, 所以需要做一些近似.
回到初始时铁磁海森伯模型的哈密顿量: 同样 方向的磁矩为:
这里我们不考虑自旋波理论中的H-P变换(即不对哈密顿量做近似),
而是通过自旋算符间的关系简化上式. 考虑自旋算符的平方: 利用升降算符间的对易关系可以得到: 代回到自旋算符的平方中并利用算符恒等式我们得到: 考虑 , 有 两边取平均值, 则有 这样问题就转化为计算 :
引入如下格林函数: 就可以计算 ,
然后利用谱定理计算均值. 但是对于更一般的情况, 考虑如下双时格林函数: