量子多体理论第二章(1)

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双时推迟(超前)格林函数及其应用

在多体系统中, 相互作用的粒子在量子场中的性质由二次量子化形式的哈密顿量(或拉格朗日量)来描述. 在这样粒子数众多的系统中, 人们通常只对物理量的渐进性质感兴趣, 也就是在体积为 的系统中, 保持 时粒子数取极限 . 这会造成的问题是, 在进行微扰处理时, 微扰量不再是小量, 而会成为正比于 幂次的量. 此时系统的能级差很小, 能谱趋于连续. 在这种情况下, 微扰能量将大于相邻能级的能量差. 因此人们需要重新考虑处理连续谱时的微扰方法.

在量子场论中, 一个重要的概念是格林函数. 格林函数在多粒子系统中的应用使得能量的正规展开不再含有体积的高幂次项, 从而解决了使用微扰论处理这类问题时遇到的问题. 此外, 在某些情况下, 格林函数可以简化微扰圈图求和的问题. 在实际应用中, 格林函数结合 Lehmann 谱表示方法使用将卓有成效. 下面介绍双时推迟(超前)格林函数的基本性质及其在多体物理中的应用.

双时推迟(超前)格林函数的定义

设有薛定谔绘景下的算符 和 , 体系的哈密顿量不显含时间, 即. 取初始时刻 , 在不引起歧义的前提下, 简记 为 , 并记 为 . 有算符在不同绘景下的变换关系

下面给出处于热平衡态下的有限温双时推迟(超前)格林函数的定义. 双时推迟格林函数 : 双时超前格林函数 : 其中, 上标 标记 “推迟” (Retarted), 上标 标记 “超前” (Advanced). 是阶跃函数. 分别对应对易式和反对易式, 对于不同粒子系统中的算符, 有 如果算符 和 不是费米型或玻色型(比如自旋算符), 一般要根据实际情况选取不同的对易式. 自旋算符选取 处理问题比较简单.

表示一个量子统计平均. 根据选取的系综不同, 有不同的表达式. 一般选择正则系综, 此时系综平均应表示为: 其中 是密度算符, 在正则系综下表示为 其中 , 是系统的配分函数. 如果作代换: , 那么相应的系统就称为巨正则系综.

双时推迟(超前)格林函数的若干性质

哈密顿量不显含时

当系统的哈密顿量不显含时间时, 格林函数只是时间差 的函数, 即 为了证明这一点, 首先我们引入两个关联函数, 格林函数就可以写成 也就是要证明上式是关于 的函数. 根据系综平均的定义, 首先有 其中利用了求迹的轮换不变性 , 并取自然单位 . 类似地, 可以得到 重新表示出格林函数, 有 进一步,如果取 , 有 其中,关联函数相应地简化为 于是两种格林函数就简化成 ### 的傅里叶变换及其 Lehmann 表示

傅立叶变换的定义

首先来介绍一下格林函数傅立叶变换的定义(在此只给出推迟格林函数, 超前格林函数同理): #### 格林函数的 Lehmann 表示 通过 Lehmann 表示, 可以得到格林函数不依赖于哈密顿量, 或 和 具体形式的性质, 在处理实际问题时是一种很重要的方法.

首先写出 的表达式, 哈密顿量的本征方程是 , 基态是 , 对应的基态能是 . 激发态 , 激发态能量是 . 注意激发态能量和激发能是两个不同的概念, 激发能是指相对于基态的能量, 即 . 另外, 格林函数中对算符求系综平均时, 需要选用合适的完备基并求迹. 用哈密顿算符的本征态来求迹最方便. 哈密顿算符是厄米算符, 它的本征态具有正交性和完备性, 即 𝟙 在这一组基下, 格林函数的具体形式可以写成 其中,第一项可以用海森堡绘景展开, 并插入单位算符, 得到 第二项通过类似的运算可以写成(具体运算过程略) 于是格林函数可以写成 其中, 如果交换第一项的 和 指标, 并带入阶跃函数的傅立叶变换表达式 那么格林函数可以进一步写成 令 , 有 其中, 作变量代换后, 积分上下限会取反, 但微分算符 同时会多出一个负号, 二者抵消. 然后定义谱函数 格林函数就可以用谱函数简单地表示成 超前格林函数的谱函数表示证明过程略.

的若干性质

在实际问题中, 我们往往会把格林函数从实数解析延拓到整个复平面上, 然后研究它的解析性质.

  • 的解析性: 是上半平面的解析函数是下半平面的解析函数

  • 之间的关系:

超前格林函数形式类似, 最后一项 前系数为正. 作差得到 从式中反解出谱函数, 就得到了谱定理 将上式带入 (1), 得到 * 当 时的渐近性质:

其中 在 量级, 因此整个函数将以 的形式趋于零, 不会发散.

  • Kramers-Kronig 色散关系:

图片

考虑如图的回路积分, 积分回路不包含实轴上的奇点, 所以如果函数是解析的, 积分应当等于零. 根据上面的分析, 推迟格林函数在上半复平面上解析, 且在无穷远处渐近地趋于零, 所以有 回路积分可以分成三部分: 沿大圆积分沿实轴积分沿小圆积分由留数定理 于是得到 如果把推迟格林函数拆分成实部和虚部两部分, 即 对比式中的实部和虚部, 就得到了推迟格林函数的 Kramers-Kronig 色散关系: ## 的若干应用

  • 本身即为某种关联函数或者传播子.

  • 用 表示.

由谱函数表达式出发, 然后考虑下面的函数: 将式 (2) 带入上式, 就得到了

  • 与多体系统激发谱之间的关系. 其中, 取零温极限 , , 只保留最大项 和 , 配分函数可以表示成 于是式 (4) 中两项分别可以写成 第一项第二项 于是格林函数可以表示成 相应地有

选取合适的表象, 使得矩阵元非零并给出低能激发态, 那么 的极点正的实坐标确定多体系统的激发谱.

  • 是厄米算符的情况.

考虑算符的系综平均应当是实值, 有 等式右边 应当也是实量. 根据推迟和超前格林函数的谱表示, 可以得到 所以两格林函数的实部和虚部之间的关系是 带入谱定理式 (2), 得到 代回 (1) 及 (3), 就得到两个十分重要的表达式 以及

运动方程法

以全同自由费米子系统为例, 设系统的粒子数为 , 哈密顿量是 下面讨论如何求解这一系统的格林函数具体形式. 格林函数的表达式 上式对时间求导数, 有 其中, 阶跃函数 的傅立叶变换是 对时间的导数就是 此外,式 (5) 中第二项可以利用海森堡方程写成 其中, 考虑到在费米子系统中, 利用反对易式 计算更方便, 可以利用恒等式 将对易式简化成 代回海森堡方程, 得到 将 (6) 的结果和上式带入 (5), 有 这样就得到了自由费米子系统的格林函数运动方程, 即

如果考虑傅立叶变换 代入式 (7), 就得到了 于是谱函数可以表示成 。

另外, 根据式 (3), 系统的粒子数密度平均值可以表示成 此即费米分布函数.

一个数学附录

Dirac函数

在格林函数方法中, 经常会用到如下公式: 其中 表示积分主值. 如果取 是狄拉克函数, 公式变成 下面简单证明式 (8).

首先引入一些概念. 狄拉克函数可以通过函数列取极限得到, 即 其中 称为狄拉克函数列(或称 nascent delta function). 这一极限只有在积分形式下具有意义, 即 为讨论这些函数列的性质, 引入正核序列的概念.

定义 (正核序列)

"正核序列" 是指满足下列条件的积分核 :

  • ;

  • ;

定理

设 是正核序列, 若 可积有界并在 处连续,则 即 .

证明:

因 在 处连续, , 使得 ;

由正核序列第二条性质得 又由核的非负性及积分基本不等式, 有 所以有 成立.

下面证明如果 且 , 则可取 .

这样构造的 显然满足正核序列的前两条性质. 为验证性质 3, 取任意 , 有

因此有 .

利用这一性质, 可以证明 .

令 , 其积分为 因此有 . 取 , 得到 亦即

下面重新看 (8), 首先等式左边可以写成 其中, 等式右边第一项由 (8) 应为 , 第二项中的因子 在 时等于 1, 而在 时等于 0, 是一个关于 0 对称的函数.因此在取极限后, 这一项积分将变成柯西主值积分.

于是就得到了式 (7)