三个绘景,诸量子力学场算符表达式及其表象
场算符的不同表象
平面波表象
(续上次)
平面波表象下的哈密顿算符是 其中,动能和自旋是守恒量.
平面波表象是一种比较极端的巡游电子情形.这一表象的物理含义是,多体系统中的电子处于巡游状态,此时认为电子的动能远大于受到的势能.如果讨论固体中“不那么自由”的巡游电子(比如固体中受周期势调制的波函数),就需要采用下面将要讨论的布洛赫表象.
布洛赫表象
考虑这样一个单体哈密顿量: 其中 是晶格周期势,它是关于正格矢的周期函数,即有 它的本征态就是布洛赫函数 ,其中的
是属于第一布里渊区的箱归一化波矢.本征方程是
根据布洛赫定理,布洛赫函数可以写成一个平面波与一个关于正格矢的周期函数之积,有
此外,在倒格矢中,布洛赫函数具有如下性质: 其中
是倒格矢.
布洛赫函数同样具有正交性和完备性关系,即 因此场算符也可以用布洛赫函数展开,即 其中 和
是布洛赫电子对应的消灭、产生算符.它们之间的对易关系是
这就是我们考虑的布洛赫表象.在实际模型中,我们主要考虑的是最接近费米面的能带,这是最重要的.
瓦尼尔表象
前面提到,布洛赫表象是关于倒格矢的周期性函数.对于这样的函数,我们可以用正格矢中的波函数展开,也就是对它作傅里叶变换.即
其中,展开系数
称为瓦尼尔函数,它是局域在某一个格点上的函数.与布洛赫函数相比,这是另一种极端情况的电子(定域的波函数).根据固体理论中的结论,布洛赫函数只是
的函数,即 对于这样的局域在格点上的波函数,它的量子数是格点 .这一波函数也满足正交性和完备性条件,即
场算符在瓦尼尔表象下的表达式是
同一个场算符既可以用布洛赫函数展开,也可以用瓦尼尔函数展开,而两种表象之间可以通过傅里叶变换联系.因此两种表象下的产生消灭算符之间的变换关系应该是反向的傅里叶变换,即
利用这些结论,下面我们讨论一些不同表象中的实例.
不同表象的实例
凝胶模型(Jellium model)
首先考虑金属材料.认为价电子是近自由的,电子间库仑相互作用和电子动能处于相同数级.此外,离子间相互作用也很大,这些相互作用都不能忽略.因此如果我们采用平面波表象,并仅仅认为其中电子是近自由的,将不够准确.
在固体中,我们感兴趣的是电子和电子之间的关联作用.直观来说,就是一个电子的运动轨迹会受到周围许多电子运动的影响.这样的关联效应很容易产生一些集体运动,比如等离子体振荡、屏蔽作用等等.
这样的关联相互作用使得体系的模型十分复杂,难以直接求解.为了简化问题,我们就要做出合适的近似来研究问题.
出于上述考虑,人们提出了凝胶模型.凝胶模型的近似处理如下:假设格点上的离子是经典的,保持静止不动,那么就可以把离散分布的正电荷看作均匀抹平的正电背景,然后讨论其中的电子关联效应.
在此我们仅考虑单价金属.电子(离子)数为 ,体积为 ,近似认为离子系统是均匀抹平的正电背景,它的作用是保持系统电中性.那么离子数密度就是
从而这一模型的哈密顿量是 其中第一项是电子-电子相互作用的哈密顿量,严格的表达式是 第二项是离子-离子相互作用的哈密顿量,严格的表达式是
第三项是电子和离子之间相互作用的哈密顿量,这一项需要作近似处理,即
在哈密顿量的这三项中,被积函数都出现了形如
的形式.为了处理这一项,我们在箱归一化和周期边界条件下进行傅里叶变换.即对于任意函数,认为它满足
其中,
是三个方向的单位矢量.这样的规定确定了函数傅里叶变换及其逆变换的形式,即
当
时,有
但是这里的逆变换在数学上是发散的,物理上我们称它紫外发散.然而在实际的凝胶模型中,不应该出现这样的发散项.为在数学上处理这一问题,我们引入收敛因子,做变换(最后一步推导留作习题)
这样,哈密顿量中的离子-离子相互作用项可以写成 电子-离子相互作用项是 中的二体部分是
综合上述三项可以看到,三个发散项会相互抵消,这与实际的物理模型相符.
这样我们就得到了坐标表象下一次量子化的凝胶模型哈密顿量,即 对比前面给出的两体算符的一般表达式,可以写出两体相互作用是
这样,就能够写出场算符下的凝胶模型哈密顿量表达式,即
如果采用平面波表象,根据场算符的平面波表象表达式 就可以把哈密顿量可以写成 一般根据实际情况, 这两种形式都可以作为哈密顿量的具体形式.
Hubbard 模型
Hubbard
模型是一个十分著名的模型.它出现于上世纪六十年代,人们最初用它来讨论过渡金属化合物中的金属-绝缘体转变问题.除此之外,Hubbard
模型还可以用来描述铜氧化物高温超导体,巡游磁性体中的铁磁性等重要模型.
在这个模型中,首先我们做如下近似.只考虑简单金属,即一个原胞上只有一个离子.假设每个格点上只有
-波电子轨道,那么它对应的希尔伯特空间只能有四个态矢量
.设系统的原胞数为 ,电子数为 (原胞数和电子数不一定相同.如果相同,
那么对应的模型具有一个半满的能带,将体现出金属性.如果 ,是一个全满的能带.对应的体系是绝缘体).材料的体积是
,其中 是原胞体积.那么哈密顿量可以写成
在这里我们仍然不考虑格点上离子振动.离子和电子间相互作用可以用周期势来描述,把这一项归到哈密顿量的单体项中,即
它的本征态就是布洛赫函数.形式上我们可以写出布洛赫表象下的本征方程(这里我们用布洛赫表象的讨论并不准确,因为这种模型的电子的局域性很强):
那么布洛赫表象下的模型哈密顿量可以写成 两体相互作用的矩阵元按定义是 其中
是交叠积分,表达式是
哈密顿量中的单体算符可以拆分成 和 两项,即 其中 可以认为这一项的物理含义是局域在每个格点上的 -波电子的轨道能量,在此我们把它当作一个常量.于是哈密顿量的第一项就可以写成
下面再来看哈密顿量中的第二项.我们考虑的是局域电子,因此可以近似认为只有最近邻电子间存在跃迁,即采用紧束缚近似.于是有
其中 是对 的最近邻格点求和.考虑各向同性,
是一个常量.于是矩阵元就可以表示成 如果 ,那么积分有四个中心,我们称这种情况为四中心积分.当且仅当四个瓦尼尔函数都不等于零,积分才不等于零.所以一般来说这一项非常小.同理也会有三中心积分、双中心积分和单中心积分.其中只有单中心积分
的贡献最大.所以下面我们略去其他积分,只考虑这一项.
忽略单中心积分以外的积分,矩阵元可以继续表示为 这里的第一步是认为矩阵元是一个常数 .第二步是对 求和,分别取 和
两种情况.其中第一种情况根据费米子 Pauli 原理得零,第二项对
两种情况求和,得到的两项经过简单对易计算后会发现是相同的.进而可以写成粒子数算符
和 乘积的形式. 我们称
为同位排斥能,这一项只有在双占据态才会出现.
这样,我们就得到了单带 Hubbard 模型的哈密顿量在瓦尼尔表象下的表达式,即
这一模型哈密顿量只有一维情况下有严格解.我们定义
,并用它用来表示体系中电子的关联作用强弱.当 时,认为体系是弱关联系统;当
时,认为体系是强关联系统.
此外,布洛赫表象下的单带 Hubbard 模型哈密顿量是
(第二讲完)