量子多体理论第五章-相干态路径积分及其应用

相干态路径积分及其应用

谐振子相干态

一维谐振子的哈密顿量可以写为如下形式: 这里 、 分别是产生、消灭算符, 满足如下玻色子对易关系: 产生、消灭算符本身不是厄米算符, 但两者的乘积可以构成厄米算符: 即粒子数算符. 粒子数算符与哈密顿量对易, 可以得到共同本征态 满足如下本征方程: 同样可以证明 是一组正交完备的本征态, 满足如下关系: 定义粒子真空态 , 满足: 一般地, 有: 下面在谐振子本征态的基础上引入谐振子相干态, 即消灭算符的本征态: 其共轭式为: 这里 是一个复数, 且 具有如下形式: 前面的常数因子是归一化常数.

相干态首先是归一的, 即 但其一般不正交，有如下关系: 进一步可以得到: 在复平面上, 当 时, 有 , 这时两个态近似正交. 谐振子的相干态虽然不正交, 却是一组完备基, 这种性质称为超完备性. 有如下完备性关系: 其中积分测度为: 取，则 这样完备性条件可以写为: 由于相干态具有完备性, 可以利用相干态展开任意态, 称这种表象为相干态表象: 但是由于超完备性, 这种展开并不唯一. 同样, 算符也可以展开为: 可以得到如下关系: 特别地, 对体系本征态求迹可以写为对相干态的"求迹":

多体理论中的玻色子系统相干态

前面已经介绍了一维谐振子相干态, 而对于全同粒子体系, 每一个单粒子态都对应着不同的相干态. 下面介绍凝聚态场论中全同玻色子系统的相干态. 为简单起见, 先从单分量的情况考虑, 这实际上就是一维谐振子相干态.

单分量玻色子相干态

场论中我们用 代替 表示相干态, 这里 仍然是消灭算符的本征态. 为方便起见, 凝聚态场论中考虑如下没有归一化的相干态: 这里 仍是复数, 是粒子真空态. 有如下本征方程: 上式的厄米共轭为: 可以得到如下关系: 下面讨论单分量情况玻色子系统相干态的性质:

• 内积(非正交归一)

  凝聚态场论中用到的相干态是非归一化的, 而且相干态本身不同的态之间不正交，一般有如下关系: Proof. ​ 一般地, 有:

• 完备性

  相干态本身具有超完备性, 但是这里我们使用的是未归一化的相干态, 所以单位算符和前面的形式有所不同:

同样地, 可以在相干态表象下对算符求迹: 这是下面推导配分函数路径积分形式的基础.

考虑 写成了产生、消灭算符的函数形式 , 而且产生、消灭算符是按正规乘积的顺序排列的, 则单分量玻色子情况的配分函数函数可以写成如下求迹的形式: 按量子力学中路径积分的方法, 把 看成是时间(虚时), 分为 个等份, 每一份为 , 得到: 在任意两个相邻 之间插入单位算符 , 得到: 为了方便表示, 令: 实际上 . 考虑 是小量, 展开到一阶, 这时上式中的通项可以展开为: 定义 这样配分函数可以写为: 其中 是作用量. 当 时, 进一步做变换: 可将离散情况连续化, 这里 . 这样配分函数可以写为: 其中作用量 是 的泛函: 边界条件为: 谐振子哈密顿量为: 此时的作用量为:

多分量玻色子相干态

多分量(多粒子)系统的相干态是单变量(单粒子)系统相干态的直积, 哈密顿量为 其中 定义多分量系统相干态为: 这一相干态是任意单粒子态消灭算符 的本征态, 有如下本征方程: 其厄米共轭为: 同样可以得到如下关系: 下面讨论多分量情况玻色子系统相干态的性质.

• 内积(非正交归一)

一般地, 有:

• 完备性

  有如下恒等算符:

同样, 多分量情况下对玻色子系统本征态的求迹可以写为对相干态的积分形式: 对多分量情况中的每一个分量进行前面单分量情况下的路径积分操作, 可以得到配分函数: 其中泛函积分测度为: 作用量为: 对多分量系统, 作用量为:

多体理论中的费米子系统相干态

Grassmann 数

费米系统的产生、消灭算符可以记作、, 满足如下费米子对易关系: 且有 引入粒子数算符: 其满足本征方程: 对应本征态为 费米子体系中的消灭算符没有本征值为非零复数的本征态. 为方便研究, 我们直接假设 的本征态为 , 本征值为 , 即: 其复共轭为: 此时的 和 已经不再是普通的数(复数). 我们称这个"奇怪"的数为Grassmann 数.

Grassman 数 满足如下关系(Grassmann 代数): 这里 是 的复共轭, 但是两者是相互独立的. 对于复数 , 有如下关系: Grassmann 数自身的乘积运算满足反对易关系, 其与费米子产生和消灭算符间的乘积运算也满足如下反对易关系: Grassmann 数的函数可以用其泰勒展开定义, 例如函数 为: 可以看出由于 Grassmann 数之间的反对易关系, Grassmann 数的函数的展开总是有限的, 这一点可以推广到多变量的情况.

下面讨论 Grassmann 数的微分和积分. 首先是微分运算, 这里以对 的微分为例: 上式最后的微分运算可以利用 Grassmann 数间的反对易关系将 移动到靠近前面微分的位置然后计算得到: 因此也可以定义对 Grassmann 数的微分 与 Grassmann 数 是反对易的: 同样地, 可以得到如下一阶微分: 通过一阶微分可以计算得到二阶微分: 对 Grassmann 数的二阶微分不同于普通数的二阶微分, 而是有顺序的, 这里是先对 微分, 然后对 微分. 交换微分顺序, 可以得到: 结果与刚才不同, 相差一个负号. 为方便, 可以认为 Grassmann 数的微分之间也是反对易的: 注意这里的 和 是两个独立的量.

下面考虑积分运算. 首先对 Grassmann 数的积分做如下定义: 即任意常数对 Grassmann 数的积分为零, 只有当被积函数是积分变量的一次项时积分才不为零. 根据定义, 可以得到 Grassmann 数的积分有如下推论: 下面计算 对 的积分: 同样地, 可以计算 对 的积分: 可以看到, Grassmann 数的积分运算结果与前述微分运算结果一致.

单分量费米子相干态

在 Grassmann 数的基础上可以定义单分量情况下费米子系统相干态 为： 这里 仍代表粒子真空态, 满足 . 这样定义的费米子相干态是费米子消灭算符的本征态, 满足如下本征方程: Proof. 和玻色子情况类似, 可以得到如下关系: 下面考虑单分量情况下费米子相干态的性质.

• 内积(非正交归一)

Proof.

• 完备性

费米子相干态也是超完备的, 有如下单位算符:

Proof. 同样地, 在相干态表象下对费米子本征态的求迹可以写成对相干态的积分: 注意这里左矢中的负号. 下面证明上式最后一行就是求迹:

Proof. 考虑无相互作用体系哈密顿量具有形式 则其配分函数为: 考虑配分函数具有正规形式: 则 将其写成路径积分的形式, 有 写成连续形式, 有 其中 具有边界条件:

多分量费米子相干态

考虑多分量情况下哈密顿量为 引入产生、消灭算符对应的本征值: 则可以定义相干态: 满足以下反对易关系: 定义厄米共轭: 类似于玻色子情况, 多分量情况费米子体系的相干态是单分量情况费米子体系相干态的直积, 可以写为: 这是任意单粒子消灭算符的本征态.

这样定义的费米子相干态有如下性质：

• 内积(非正交归一)

• 完备性

同样地, 求迹可以表示为: 而多分量费米子体系配分函数的路径积分形式与玻色子情况的计算过程相似, 这里直接给出结果: 其中作用量为: 边界条件为:

数学准备

高斯积分

• 实数单变量

• 实数多变量

• 复数单变量

• 复数多变量

• Grassmann数单变量

• Grassmann数多变量

Stratonovich-Hubbard 变换

Stratonovich-Hubbard (S-H) 变换为: 其中 . 可以看到 S-H 变换为一种脱耦合手续.

下面对第一式进行证明, 第二式证明类似.

Proof.

令 则 即有:

路径积分方法在超导理论中的应用

超导体的哈密顿量具有以下形式: 将升降算符对应的 Grassmann 数记作 则配分函数可以写作 其中 引入四维坐标和四维动量, 即:

有 此时作用量可以写作 注意到 其指数上有四次项, 可利用 S-H 变换解耦合. 首先, 令 则 其中 是忽略系数得到的. 则 因此配分函数可以写作: 其中 下面用平均场近似处理上式, 为此将 近似为常量: 则 引入傅里叶变换: 则 其中 我们常称 为 Nambu 旋量, 且 推出 代回配分函数, 得到 其中取平均场近似后, 有 接下来考虑鞍点近似 (Saddle-point approximation), 又叫最速下降法, 即令 可以得到 其中 则 移项化简可得: 定义 有 利用 Matsubara 求和公式对 求和, 有 按照 将对 的求和转为积分, 有 此即BCS能隙方程, 与第四章结果相同.

最后, 如果继续考虑鞍点附近的函数, 可以得到更多有趣的东西.

(第五章完)