量子多体理论-第三章(三)

零温单粒子格林函数, 费曼图技术及其应用

坐标空间单粒子格林函数的费曼图技术

费曼图的基本概念

前面得到了零温单粒子格林函数在相互作用绘景下的表达式: 其中 是散射矩阵: 对于两体相互作用, 有 注意这里对 和 的积分是对四维时空进行的, 是四维势. 格林函数中分母可以认为是一个常数, 分子中对散射矩阵展开后得到的第一项为:

001

同样可以得到分子的第二项为: 这一项中的编时乘积用 Wick 定理展开，带有正规乘积的项全都在基态平均中为零, 只剩下完全收缩的项. 进一步考虑"产生"算符间的收缩和"消灭"算符间的收缩为零, 我们只需要考虑完全收缩项中只包含"产生"和"消灭"算符间收缩的项, 有如下六项:

002

003

004

005

006

007

这里需要注意收缩的顺序, 如果顺序交换将产生负号. 另外, 算符收缩后就是一个数, 在计算多个收缩时需要注意不重复交换. 这样分子第二项的贡献可以写为: 其中定义了 . 下面用费曼图表示上式中的各项, 为此, 先引入一些简单的费曼图, 然后利用这些简单的费曼图表示分子的一阶展开, 进而得到全部的费曼图规则:

008

注意这里费曼图中的方向, 表示格林函数 的费曼图(也称粒子线)是从 指向 , 从格林函数的表达式中看, 可以理解为在 产生的粒子传播到 . 利用简单的费曼图规则, 可以表示出分子第二项的各部分贡献:

009

下面借用这6个费曼图, 我们介绍一些基本概念:

1. 相连图和非相连图

可以看到分子一阶展开得到的费曼图中(a)(b)分成两个部分, 彼此不相连, 而费曼图(c)(d)(e)(f)彼此相连. 像(c)(d)(e)(f)这样所有坐标点通过实线或点线与外线相连的图叫做连接图. 这里的外线是与点 相连的线, 这样的点称为外点. 外点的一般定义, 可以认为是费曼图中只与一条线相连的点, 同样可以定义内点是与至少两条线相连的点. 相反地, (a)(b)即为非连接图, 后面将证明非连接图对格林函数没有贡献.

2. 真空涨落图和传播图

费曼图(a)(b)中的圈图 和 最终积分后将得到常数, 只留下自由传播子, 这样的图也称为真空涨落图. 与之对应的是传播图, 即存在与外点相连内点的图, 如(c)(d)(e)(f).

下面说明非连接图对格林函数没有贡献. 格林函数的分子部分可以用费曼图写为:

012

而分母部分可以写为:

013

则:

014

这里的 C 是 Connected, 即相连的意思. 可以看到, 在计算格林函数时, 分子分母中不相连的真空涨落图相消, 只留下相连图.

二阶拓扑不等价相连图一共有十个, 分别是:

015

坐标空间的费曼图规则

下面对坐标空间中 阶图形的费曼图规则作简要总结.

(i)画出所有含 条点线, 条实线的拓扑等价的相连图, 实线对应 :

016

点线对应 :

017

(ii)对所有内部时空变量积分,对所有内部自旋变量求和.

(iii)所得结果前乘因子 , 其中 为图中闭合实线环数目.

(iv)规定 , 其中 .

这里 的来源有四处:

• 前面考虑的是 , 在计算实际格林函数时要乘以 消去前面的 .

• 条实线对应 个 , 故提供了 .

• 格林函数的 阶展开式的系数是 , 其中 来自两体相互作用的展开式.

• 阶图中含有 个拓扑等价图. 以 的一个图为例, 一共有八种拓扑等价图:

018

综上, 总系数是

处理如下费曼图内部自旋变量:

019

图中没有闭合实线环,有一条点线. 按费曼图规则得到 其中

计算如下一阶图形:

020

图中有一个实线环, 一条点线, 故有: 其中, 可以用 计算出来, 即 这表明实线圈与体系的粒子数密度有关. 其中 是有限值, 是无穷小量, 故 指数上趋于零. 将这一结果代回到表达式中, 得到计算结果

在实际进一步计算过程中, 对实空间积分的计算过于繁琐, 因此下面考虑傅立叶变换到动量空间中的费曼图技术.

练习. 计算十个二阶拓扑不等价相连图, 只要求完成对内部自旋变量求和.

动量空间单粒子格林函数的费曼图技术

傅立叶变换

定义四维坐标: 以及四维动量: 于是有格林函数的傅里叶变换及逆变换 相互作用项的傅里叶变换是 逆变换是 即 .

当 时,

动量空间 阶费曼图规则

(i) 画出所有含 条点线, 条实线的拓扑不等价的相连图. 实线对应 :

021

点线对应 :

022

两条外线对应着 .

(ii) 对每一个顶点, 四维动量保持守恒, 如下图所示.

023

(iii) 对所有内部动量积分, 对所有内部自旋求和.

(iv) 所得结果前乘上因子 .

(v) 形成闭合环的 以及两端与同一相互作用线相连的 对应着 .

下面按照这些规则, 重新写出前一节给出的两种费曼图.

(a)

(b)

练习. 按费曼图规则写出下列动量空间费曼图各顶点和线的标记, 并对自旋求和.

026

Dyson 方程

坐标空间中的 Dyson 方程

坐标空间中的全格林函数写作 分别定义全格林函数和自由格林函数的费曼图:

027

于是全格林函数的展开式可以用费曼图表示为

028

上式的等价形式是

029

其中, 称 为自能(self energy), 记作 , 有

031

其中十个二阶自能图的具体形式为

032

如图所示, 第 1, 2, 4, 5 个二阶自能图可以通过断开一条 线, 分成两个低阶自能图. 由此, 自能图可以分为两类: 正规自能图和非正规自能图.

正规自能图 若一个自能图不能通过断开一条 线而分成两部分, 则称其为正规自能图 , 记作 展开式为:

034

自能图 可以用正规自能 表示, 即

037

于是全格林函数可以表示成

038

这样就得到了 Dyson 方程的另一种形式:

039

对应的数学表达式为 实空间下的这一方程是积分方程, 难以求解. 为简化起见, 下面引入动量空间中的 Dyson 方程.

动量空间中的 Dyson 方程

格林函数, 相互作用势和正规自能的傅里叶变换表达式分别为 于是有 Dyson 方程在动量空间中是一个代数方程:

040

从中可以解出 : 其中 一般来说, 具有有限大的虚部, 因此无穷小的虚部 可以舍去, 这样就有 其中, 一般取到一阶或二阶. 这样, 求解格林函数的问题就归结为了求解正规自能.

正规自能骨架图

Dyson 方程中的正规自能本身同样很复杂, 为方便后续处理, 将它拆分为两部分:

041

下面具体分析其中每一部分.

(a) 对粒子线的修正.

对粒子线的修正有如下两部分.

042

043

(b) 对相互作用线的修正.

相互作用 的各阶修正分别是

044

(c) 顶角修正.

剩余不能归为粒子线修正或相互作用线修正的项, 统称为顶角修正. 有:

045

极化图

进一步讨论相互作用线, 首先可以把它写成

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其中, 称为极化图, 记作 , 各阶展开分别是

048

与前面对正规自能图的定义类似, 可以将极化图分成正规极化图和非正规极化图.

正规极化图 不能通过断开一条相互作用线而分成两部分的极化图称为正规极化图 , 费曼图记作

极化图用正规极化图表示为

050

对应的方程为 解出: 相互作用线也可以用极化图和正规极化图表示:

051

从中可以解出